Exercice corrigé Ancien programme

black or white ?

Dans une urne il y a quatre boules noires et six boules blanches.

Dans une urne il y a trois boules noires et sept boules blanches.

Les boules sont indiscernables au toucher.

On choisit une urne au hasard, puis on tire au hasard une boule dans cette urne.

On note A l'événement « on choisit  » et N l'événement « la boule tirée est noire ».

1. Représenter l'épreuve par un arbre non pondéré que vous compléterez au fur et à mesure.

2. Calculer p(A).

3. Donner une interprétation en langage courant, puis calculer et et compléter l'arbre.

4. Donner une interprétation en langage courant, puis calculer et

5. En déduire la probabilité d'avoir choisi l'urne sachant qu'on a tiré une boule noire.

Voir les savoir-faire 1 et 2.

1. Il y a deux éventualités pour le choix de l'urne, correspondant aux événements A, pour l'urne et pour l'urne Il y a deux éventualités pour le choix de la boule, correspondant aux événements N, pour une boule noire, et pour une boule blanche. On en déduit l'arbre suivant :

2. Le choix de l'urne, parmi les deux urnes possibles, se fait de façon équiprobable, donc la probabilité que l'urne choisie soit est égale à

3. est la probabilité que la boule choisie soit noire sachant que l'urne choisie est l'urne Dans l'urne il y a 4 boules noires parmi les 10 boules présentes. Le tirage de la boule se fait de façon équiprobable, donc :

est la probabilité que la boule choisie soit noire sachant que l'urne choisie est l'urne Dans l'urne il y a 3 boules noires parmi les 10 boules présentes. Le tirage de la boule se fait de façon équiprobable, donc :

On peut alors compléter l'arbre pondéré :

La règle des nœuds a permis de déterminer les probabilités et .

4. est la probabilité d'avoir choisi l'urne puis tiré une boule noire dans cette urne. Donc soit

est la probabilité d'avoir choisi l'urne puis tiré une boule noire dans cette urne. Donc soit

D'ou soit

5. On cherche
donc soit

On trouve un résultat plus grand que , ce qui est vraisemblable puisqu'on a une proportion plus importante de boules noires dans l'urne

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