Exercice corrigé Ancien programme

Boules

1. Dans une urne se trouvent sept boules marquées du n° 1, cinq boules marquées du n° 2, trois boules marquées du n° 3. On tire simultanément trois boules de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables.

Déterminer les probabilités des événements suivants :

A : « On tire au moins une boule n° 2. »

B : « On tire trois boules portant trois numéros différents. »

C : « On tire trois boules portant le même numéro. »

D : « Parmi les trois boules tirées, deux exactement portent le même numéro. »

2. Il faut payer 5  pour faire un tirage de trois boules. Un tirage est gagnant si les trois boules sont identiques. Le gain est alors, en dizaines d'euros, égal à la somme des points marqués.

a. Déterminer la probabilité de chaque tirage gagnant.

b. Calculer l'espérance de gain. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ou pour l'organisateur ?

Boules

Les tirages sont supposés équiprobables.

1. Le nombre total de boules est 15. Donc le nombre de tirages possibles de 3 boules parmi 15, sans remise et simultanément, est . L'événement contraire de A est  : « On ne tire aucune boule n° 2. »

Il y a tirages qui réalisent (tirage de 3 boules parmi les 10 qui ne sont pas marquées avec le n° 2), donc .

On en déduit que .

Pour obtenir 3 boules de numéros différents, il faut 1 boule n°1 parmi 7, 1 boule n°2 parmi 5 et 1 boule n°3 parmi 3. On obtient .

Réalisation de l'événement C : il y a façons de tirer 3 boules n° 1, façons de tirer 3 boules n° 2, et façons de tirer 3 boules n° 3. Ces événements étant deux à deux incompatibles, le nombre total de tirages réalisant l'événement C est . Par conséquent, .

Tous les tirages sont représentés par les événements B, C ou D. Ils sont incompatibles deux à deux, donc on a : .

2. a. Les tirages gagnants sont : 3 boules no 1, 3 boules no 2, ou 3 boules no 3.

Le tableau suivant regroupe les probabilités et les gains (en euros) associés à ces tirages gagnants.

Tirage

3 boules n° 1

3 boules n° 2

3 boules n° 3

Probabilité

Gain

30

60

90

b. Sans tenir compte de la mise de 5 , l'espérance de gain est :

(soit environ 3,82 ). Cette espérance est inférieure à la mise, le jeu est donc avantageux pour l'organisateur.

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