Exercice corrigé Ancien programme

calcul d'aire

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé

Pour tout on note M le point du cercle trigonométrique d'affixe x, et T le point d'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente au cercle en M.

On note L(x) la longueur OT, et A(x) l'aire du triangle OMT.

1. Quel est le signe de et de sur

2. Montrer que

3. Établir que et en déduire l'expression de A(x).

 

Pour tout réel x,

 

4. Étudier les variations de la fonction sur

5. Déterminer la limite de A(x) quand x tend vers par valeurs inférieures.

1.

2. Dans OMT rectangle en M :

d'une part,

d'autre part,

Finalement,

 

donc est égal aussi bien à qu'à



 

3. l Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OMT rectangle en M donne

soit

Donc , donc, d'après 1.

 

Autre méthode possible :

 

  • Il en résulte que

4. Pour tout

donc A est strictement croissante sur

5.

donc, par quotient,

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