calcul de volumes

Merci !

Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration

Le calcul intégral permet de calculer le volume d’un solide.

On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on admet le résultat suivant :

Soit un solide limité par les plans d’équations et

Pour tout on note S(t) l’aire de la section du solide par le plan d’équation

Si la fonction S est continue sur , alors le volume du solide est donné par :

Voir le chapitre 8.

1. On considère le cylindre de révolution d’axe (Oz) de rayon et de hauteur

a. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par pour

Quelle est la nature de cette intersection ?

b. Calculer le volume V1 du cylindre, exprimé en unités de volume.

2. On considère le cône de révolution d’axe (Oz) de hauteur de sommet O et dont la base a pour rayon

a. Dessiner l’intersection du cône avec le plan ( yOz).

b. Soit avec Représenter H sur le dessin précédent.

c. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.

Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (yOz) (s’aider du dessin !).

d. Calculer le volume V2 du cône, exprimé en unités de volume.

3. On considère la sphère de centre O et de rayon

a. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par

Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (y Oz), et à l’aide du théorème de Pythagore (s’aider d’un dessin !)

b. Calculer le volume V3 de la sphère, exprimé en unités de volume.