Le calcul intégral permet de calculer le volume d'un solide.
On se place dans un repère orthonormé de l'espace et on admet le résultat suivant :
Soit un solide limité par les plans d'équations 
et 
Pour tout 
on note S(t) l'aire de la section du solide par le plan d'équation 
Si la fonction S est continue sur 
, alors le volume du solide est donné par :
| Voir le chapitre 8. |
1. On considère le cylindre de révolution d'axe (Oz) de rayon 
et de hauteur 
a. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par
pour 
| Quelle est la nature de cette intersection ? |
b. Calculer le volume V1 du cylindre, exprimé en unités de volume.
2. On considère le cône de révolution d'axe (Oz) de hauteur
de sommet O et dont la base a pour rayon 
a. Dessiner l'intersection du cône avec le plan ( yOz).
b. Soit 
avec 
Représenter H sur le dessin précédent.
c. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.
| Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (yOz) (s'aider du dessin !). |
d. Calculer le volume V2 du cône, exprimé en unités de volume.
3. On considère la sphère de centre O et de rayon 
a. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par
| Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (y Oz), et à l'aide du théorème de Pythagore (s'aider d'un dessin !) |
b. Calculer le volume V3 de la sphère, exprimé en unités de volume.
1. a. L'intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H est un disque de rayon R = 3 centré sur l'axe (Oz). Pour tout 
b. 
unités de volume.
2. a. et b. Dans le plan (y Oz), la section du cône est le triangle OAA′, où A(0 3 8) et A′(0 -3 8).
c. Le plan d'équation 
est un plan parallèle à la base du cône, donc l'intersection du cône avec ce plan est un disque de centre H.
Notons I le milieu de [AA′] et H′ le point d'intersection de (OA) avec la parallèle à (IA) passant par H.
Considérons les triangles OIA et OHH′. Les droites (IA) et (HH′ ) étant parallèles, le théorème de Thalès permet d'affirmer que 
On en déduit que 
D'où, pour tout 
d. 
unités de volume.
3. a. La section de la sphère avec le plan ( yOz) est le cercle de centre O et de rayon 5. La parallèle à l'axe (Oy) passant par H coupe le cercle en deux points : notons H'celui dont l'ordonnée y est positive.
La section de la sphère avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H est un cercle de rayon HH′.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle OHH ′ permet d'affirmer que 
(
car c'est un rayon de la sphère et 
).
D'où, pour tout 
b. 
unités de volume.