Exercice corrigé Ancien programme

calcul de volumes

Le calcul intégral permet de calculer le volume d'un solide.

On se place dans un repère orthonormé de l'espace et on admet le résultat suivant :

Soit un solide limité par les plans d'équations et

Pour tout on note S(t) l'aire de la section du solide par le plan d'équation

Si la fonction S est continue sur , alors le volume du solide est donné par :

Voir le chapitre 8.

1. On considère le cylindre de révolution d'axe (Oz) de rayon et de hauteur

a. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par pour

Quelle est la nature de cette intersection ?

b. Calculer le volume V1 du cylindre, exprimé en unités de volume.

2. On considère le cône de révolution d'axe (Oz) de hauteur de sommet O et dont la base a pour rayon

a. Dessiner l'intersection du cône avec le plan ( yOz).

b. Soit avec Représenter H sur le dessin précédent.

c. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.

Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (yOz) (s'aider du dessin !).

d. Calculer le volume V2 du cône, exprimé en unités de volume.

3. On considère la sphère de centre O et de rayon

a. Déterminer l'aire S(t) de l'intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par

Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (y Oz), et à l'aide du théorème de Pythagore (s'aider d'un dessin !)

b. Calculer le volume V3 de la sphère, exprimé en unités de volume.

1. a. L'intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H est un disque de rayon R = 3 centré sur l'axe (Oz). Pour tout

b. unités de volume.

2. a. et b. Dans le plan (y Oz), la section du cône est le triangle OAA′, où A(0  3 8) et A′(0  -3 8).

c. Le plan d'équation est un plan parallèle à la base du cône, donc l'intersection du cône avec ce plan est un disque de centre H.

Notons I le milieu de [AA′] et H′ le point d'intersection de (OA) avec la parallèle à (IA) passant par H.

Considérons les triangles OIA et OHH′. Les droites (IA) et (HH′ ) étant parallèles, le théorème de Thalès permet d'affirmer que

On en déduit que

D'où, pour tout

d.

unités de volume.

3. a. La section de la sphère avec le plan ( yOz) est le cercle de centre O et de rayon 5. La parallèle à l'axe (Oy) passant par H coupe le cercle en deux points : notons H'celui dont l'ordonnée y est positive.

La section de la sphère avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H est un cercle de rayon HH′.

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle OHH ′ permet d'affirmer que ( car c'est un rayon de la sphère et ).

D'où, pour tout

b.

unités de volume.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner