Le calcul intégral permet de calculer le volume d’un solide.
On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on admet le résultat suivant :
Soit un solide limité par les plans d’équations 
et 
Pour tout 
on note S(t) l’aire de la section du solide par le plan d’équation 
Si la fonction S est continue sur 
, alors le volume du solide est donné par :
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Voir le chapitre 8. |
1. On considère le cylindre de révolution d’axe (Oz) de rayon 
et de hauteur 
a. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par
pour 
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Quelle est la nature de cette intersection ? |
b. Calculer le volume V1 du cylindre, exprimé en unités de volume.
2. On considère le cône de révolution d’axe (Oz) de hauteur
de sommet O et dont la base a pour rayon 
a. Dessiner l’intersection du cône avec le plan ( yOz).
b. Soit 
avec 
Représenter H sur le dessin précédent.
c. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par H.
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Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (yOz) (s’aider du dessin !). |
d. Calculer le volume V2 du cône, exprimé en unités de volume.
3. On considère la sphère de centre O et de rayon 
a. Déterminer l’aire S(t) de l’intersection du cône avec le plan perpendiculaire à (Oz) passant par
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Quelle est la nature de cette intersection ? Il faut ensuite exprimer son rayon en fonction de t, en raisonnant dans le plan (y Oz), et à l’aide du théorème de Pythagore (s’aider d’un dessin !) |
b. Calculer le volume V3 de la sphère, exprimé en unités de volume.
