Exercice corrigé Ancien programme

cas particuliers du théorème de dirichlet

Le but de cet exercice est de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme

On va raisonner par l'absurde : on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme et on note p le plus grand d'entre eux.

1. a. Démontrer que le produit de nombres de la forme est de la forme

b. Démontrer que tout nombre premier différent de 2 et de 3 est de la forme ou de la forme

2. Soit

a. Montrer qu'il existe un nombre premier de la forme qui divise N.

b. Conclure.

1. a. Soit q1, q2, ..., qr, r entiers naturels de la forme , c'est-à-dire tels que pour tout .

Alors .

Donc est de la forme .

b. Les restes de la division euclidienne d'un entier par 6 étant 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, tout entier est de la forme 6k, , , , , avec . Or, pour tout , 6k, et sont divisibles par 2

et est divisible par 3.

Un nombre premier différent de 2 et de 3 est donc bien de la forme

ou avec .

2. a. Puisque , alors , donc N est de la forme .

N n'est pas premier (car et on a supposé que p était le plus grand des

nombres premiers de la forme ), donc il existe un nombre premier q de la forme qui divise N (car sinon 2 et 3 ne divisant pas N, tous les diviseurs premiers de N seraient de la forme , donc N aussi d'après la question 1. a., ce qui est impossible).

b. Puisque q divise N et , alors q divise c'est-à-dire q divise 1, ce qui absurde.

Il existe donc une infinité de nombres premiers de la forme .

Cet exercice est un cas particulier du théorème de Dirichlet :

« Si et , alors il existe une infinité

de nombres premiers de la forme ».

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