Exercice corrigé Ancien programme

Cinématique d'une comète

La figure ci-dessous représente les différentes positions d'une comète tous les 10 jours, durant la période où elle passe à son périhélie (point de l'orbite le plus proche du Soleil). L'échelle utilisée est 1 cm pour 0,25 ua.

On rappelle que ua est le symbole de l'unité astronomique :

1. Indiquer le périhélie P sur la figure.

2. Calculer les valeurs des vitesses v1, v2, v3, v4 et v5 pour les points P1, P2, P3, P4 et P5. L'unité utilisée sera l'unité astronomique par jour (ua/j).

3. Utiliser les résultats précédents pour calculer l'accélération au périhélie P, en ua/j puis en m/s2.

4. En appliquant les lois de la dynamique au point P, calculer numériquement la masse du Soleil MS. Comparer à la valeur connue et donnée dans ce livre. Comment justifier la différence ?

Revoir de près le savoir-faire 2 pour les questions de détermination graphique.

1. Le périhélie P est le point le plus proche du Soleil, donc le point noté P3.

2. On calcule la valeur de la vitesse au point Pi en utilisant l'approximation suivante : . Ici T est l'intervalle de temps entre deux points, soit

Dans le tableau suivant on mesure en centimètres les distances séparant les différents points :

 

P0P2

P1P3

P2P4

P3P5

P4P6

Distance (cm)

2,25

2,4

2,4

2,25

2,15

On déduit du tableau qui précède les vitesses demandées (en tenant compte de l'échelle 1 U pour 0,25 ua) :

 

v1

v2

v3

v4

v5

Vitesse (ua/j)

0,03

0,03

0,028

0,027

3. Le vecteur accélération en P3 est .

On doit donc construire les vecteurs vitesses aux points P2 et P4, puis construire la différence , la mesure de sa valeur permettra alors d'en déduire la valeur de l'accélération.

Les mesures sur la figure ci-dessus donnent .

L'accélération au périhélie vaut donc :

ou encore : .

4. On écrit la seconde loi de Newton dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen :

.

On peut mesurer r (la distance Soleil-P3) sur l'enregistrement, en tenant compte de l'échelle : .

Soit en projection : .

L'écart est de l'ordre de 15 % par rapport à la valeur retenue, il s'explique en particulier par les incertitudes engendrées par la méthode de calcul de l'accélération.

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