Exercice corrigé Ancien programme

co-voiturage

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

si une année, un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante, il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 

si une année, un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante, il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Partie A

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

2. En considérant C et V dans cet ordre, en colonne, la matrice de transition associée à ce graphe est 

Déterminer l'état stable du système, c'est-à-dire la matrice colonne vérifiant :

(population totale).

En donner une interprétation.

Partie B

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle (n entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année On a donc

1. Montrer que pour tout entier naturel n,

On considère la suite définie pour tout entier naturel n par

2. Prouver que la suite est une suite géométrique de raison 0,05. Préciser son premier terme.

3. Montrer que pour tout entier naturel n,

Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?

Partie A

1.

2.

D'où le système :

L'état stable du système correspond donc à la matrice colonne

Cela signifie que si la population une année donnée se répartit en 70 milliers de personnes pratiquant le covoiturage et 120 milliers de personnes roulant seuls, alors cette répartition sera inchangée les années suivantes.

Partie B

1. Soit

Donc soit

2.Soit

La suite est donc une suite géométrique de raison 0,05 et de premier terme

3. Pour tout
donc

Pour tout

Le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage n'atteindra jamais, selon ce modèle, la moitié de la population de cette région.

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