co-voiturage

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.

On admet que :

si une année, un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante, il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;

si une année, un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante, il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Partie A

On note C l’état « pratiquer le co-voiturage » et V l’état « se déplacer seul dans sa voiture ».

1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

2. En considérant C et V dans cet ordre, en colonne, la matrice de transition associée à ce graphe est 

Déterminer l’état stable du système, c’est-à-dire la matrice colonne vérifiant :

(population totale).

En donner une interprétation.

Partie B

En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année On a donc

1. Montrer que pour tout entier naturel n,

On considère la suite définie pour tout entier naturel n par

2. Prouver que la suite est une suite géométrique de raison 0,05. Préciser son premier terme.

3. Montrer que pour tout entier naturel n,

Est-il possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?