codage

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On considère l’équation ( E) x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple est solution de (E).

2. Résoudre alors l’équation (E).

3. En déduire le couple d’entiers relatifs solution de (E) tel que :

Partie C

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

                         

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

– on calcule

– on calcule le reste de la division euclidienne de par 26, que l’on appelle y.

x est alors « codé » par y.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; Or (modulo 26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettre W.

2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et :

(modulo 26) équivaut à (modulo 26).

b. En déduire un procédé de décodage.

c. Décoder la lettre W.