Exercice corrigé Ancien programme

codage

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On considère l'équation ( E) x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple est solution de (E).

2. Résoudre alors l'équation (E).

3. En déduire le couple d'entiers relatifs solution de (E) tel que :

Partie C

On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous :

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

                         

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

– on calcule

– on calcule le reste de la division euclidienne de par 26, que l'on appelle y.

x est alors « codé » par y.

Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 Or (modulo 26) 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.

La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettre W.

2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et :

(modulo 26) équivaut à (modulo 26).

b. En déduire un procédé de décodage.

c. Décoder la lettre W.

Partie A.

1.Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers relatifs.

a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que.

Théorème de Gauss : Soit a un entier relatif non nul, b et c deux entiers relatifs. Si a divise bc, et si , alors a divise c.

2.Démonstration : on se place dans les hypothèses du théorème de Gauss.

si, et seulement si, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que, donc en multipliant membre à membre par c, .

Or, a divise bc si, et seulement si, il existe un entier k tel que , donc l'égalité obtenue devient , c'est-à-dire, donc a divise c.

Partie B.

1. donc est solution de (E).

2. Par soustraction membre à membre, de l'égalité ci-dessus et de (E), on obtient : (2).

D'après le théorème de Gauss, comme 11 et 26 sont premiers entre eux, alors
11 divise, c'est-à-dire qu'il existe tel que soit.

En remplaçant dans l'égalité (2), on a alors :

Réciproquement, si k est un entier et que, , alors on obtient :

donc l'ensemble des solutions de (E) est

3. Si, on obtient la solution répond à la condition posée.

Donc est le couple cherché.

Partie C.

1. W correspond au nombre 22.

, donc le reste y de la division euclidienne qui code W est 14, ce qui correspond à la lettre O. W est codé par O.

2. a. (modulo 26), d'où (modulo 26).

Or donc (modulo 26), d'où (modulo 26).

On raisonne de la même manière pour obtenir la réciproque, et donc :

b. Soit y le nombre codant x. Alors par définition du codage :

(modulo 26) (modulo 26)

D'après a, ceci équivaut à

(modulo 26), donc (modulo 26) 

ordonc(modulo 26).

Donc (modulo 26).

Pour décoder la lettre y, on calcule (modulo 26).

c. W correspond au nombre 22.

, donc le reste de la division euclidienne est 6. Le décodage de W donne G.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner