codage par chiffrement rsa

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Partie A

Soit p et q deux nombres premiers et m un entier premier avec p et q.

1. Sachant que (modulo p) et que (modulo q) ( petit théorème de Fermat), montrer que (modulo pq).

2. Soit e un entier premier avec Démontrer qu’il existe un entier d tel que (modulo ) .

3. Démontrer que (modulo pq).

Partie B. Mise en œuvre

RSA repose sur le fait qu’il est très difficile de décomposer un entier en facteurs premiers lorsqu’il est grand (plusieurs centaines de chiffres).

Antoine veut envoyer un message codé à Christophe que lui seul pourra lire : Christophe choisit deux nombres premiers p et q, et un entier e premier avec Il rend public les nombres et e.

Antoine, qui a codé son message alphabétique en un équivalent numérique m, envoie à Christophe le nombre c égal au reste de la division de me par n.

Christophe décode le message en déterminant d tel que :

(modulo ).

(Lui seul peut le faire car il est le seul à connaître p et q).

Christophe rend public les nombres Antoine veut lui envoyer
le message « RDV À UNE HEURE ». Il commence par numéroter chaque lettre :
A correspond à 00, B à 01, . . . , Z à 25 et code le nombre obtenu par bloc de 3 chiffres.

1. Déterminer le message codé que reçoit Christophe.

2. Christophe veut décoder le message reçu ( et ).

a. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer d tel que :

(modulo ).

b. Retrouver le message envoyé par Antoine.