Exercice corrigé Ancien programme

colinéarité, alignement

L'espace est rapporté à un repère orthonormé On considère le plan caractérisé par le point et les vecteurs et

1. Vérifier que les vecteurs et sont pas colinéaires.

2. Les points appartiennent-ils au plan (P) ?

Exprimer en fonction de et

3. Le point appartient-il à la droite (PR) où

4. Déterminer un système d'équations paramétrique de la droite (PR).

Voir le cours, II. 5.

5. Calculer les distances PQ et PR.

6. En déduire une valeur approchée à 10-1 près de la mesure en degrés de l'angle

1. Vérifions s'il existe un réel tel que On aurait alors La dernière équation n'a pas de solution, donc on ne peut pas trouver de réel k, donc et ne sont pas colinéaires.

2. et forment donc un repère de (P), donc si et seulement si
peut s'écrire comme combinaison linéaire de et c'est-à-dire s'il existe réels tels que ce qui équivaut à :

Ainsi, donc P est bien un point du plan (P ).

il existe des réels tels que

ce qui est impossible, donc

3. sont colinéaires

il existe un réel k tel que

Or donc et donc

Vérifions s'il existe un tel réel k tel que soit
Les vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc

4. est colinéaire au vecteur avec donc un système d'équations paramétriques de la droite (PR) est

5.

soit

Autre méthode


donc en réutilisant les coordonnées du vecteur calculées au 4 :

soit

6.


donc :

, d'où et :

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