Exercice corrigé Ancien programme

composants défectueux

Les parties A et B sont indépendantes

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A.

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé à
50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10-1 près.

2. Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10-2 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B.

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre .

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit supérieure à 1 000 heures en valeurs exactes, puis approchées à 10-2 près.

a. si ce composant est défectueux 

b. si ce composant n'est pas défectueux.

Donner une valeur approchée de ces probabilités 10-2 près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :

(on rappelle que la probabilité qu'un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? On donnera une valeur approchée à 10-2 près.

Partie A.

1. Les tirages se font avec remise, donc chaque tirage comporte deux issues S « obtenir un composant défectueux » réalisé avec probabilité . Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de paramètre .

On répète 50 épreuves de Bernoulli indépendantes. Le nombre de composants défectueux, c'est-à-dire de succès dans ce schema de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres .

La probabilité qu'exactement deux des composants achetés soient défectueux est donc :

2.On cherche


donc

3. Le nombre moyen de composants défectueux pour lot de 50 composants est l'espérance de la loi binomiale de paramètres , c'est-à-dire :

.

Partie B.

1. a. Si le composant est défectueux, sa durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre

soit

b. De même avec un composant non défectueux,

2. Un composant est, soit défectueux, soit non défectueux et ces événements sont incompatibles, donc si on note D l'événement « le composant est défectueux »,
d'après la formule des probabilités totales :

.

Or, si (sachant que) l'appareil est défectueux, , et si l'appareil n'est pas défectueux, donc

(pour le même calcul qu'en 1.).

3.

donc :

Or,

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