composants défectueux

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation

Les parties A et B sont indépendantes

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A.

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à
50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10-1 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10-2 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B.

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre .

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures en valeurs exactes, puis approchées à 10-2 près.

a. si ce composant est défectueux ;

b. si ce composant n’est pas défectueux.

Donner une valeur approchée de ces probabilités 10-2 près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :

(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? On donnera une valeur approchée à 10-2 près.