1. Montrer que la fonction logarithme népérien est concave sur 
.
2. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.
3. a. En déduire que, pour tout 
, 
.
b. Montrer que, pour tout 
, 
.
Concavité de la fonction ln
1. On pose 
.
Puisque 
et 
, on a 
sur 
. Ainsi, 
est décroissante sur 
, donc la fonction ln est concave sur 
.
2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d'abscisse 1 est : 
. Comme 
et 
, cette équation s'écrit 
.
3. a. D'après la définition du cours, la courbe de la fonction ln est au-dessous de toutes ses tangentes, en particulier de celle dont on vient d'obtenir une équation. Ainsi, pour tout 
, 
.
b. On pose 
. Si 
, alors 
. De plus, 
.
L'inégalité obtenue à la question précédente s'écrit :
pour tout 
, 
.