Exercice corrigé Ancien programme

Concavité de la fonction ln

1. Montrer que la fonction logarithme népérien est concave sur .

2. Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.

3. a. En déduire que, pour tout , .

b. Montrer que, pour tout , .

Concavité de la fonction ln

1. On pose .

Puisque et , on a sur . Ainsi, est décroissante sur , donc la fonction ln est concave sur .

2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d'abscisse 1 est : . Comme et , cette équation s'écrit .

3. a. D'après la définition du cours, la courbe de la fonction ln est au-dessous de toutes ses tangentes, en particulier de celle dont on vient d'obtenir une équation. Ainsi, pour tout , .

b. On pose . Si , alors . De plus, .

L'inégalité obtenue à la question précédente s'écrit :

pour tout , .

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