Exercice corrigé Ancien programme

congruences

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x tels que :

1. (modulo 7).

On ne peut pas diviser par 2 dans une congruence.

2. (modulo 10).

3. (modulo 15).

Voir le savoir-faire 1, exemple 2.

4. (modulo 6).

1. Développons deux méthodes.

Première méthode

Soittel que (modulo 7).

On multiplie les deux nombres de cette relation par 4, et comme la relation de

congruence est compatible avec la multiplication par un entier, on obtient :

(modulo 7), donc (modulo 7).

Or , donc (modulo 7).

Vérification

si (modulo 7), (modulo 7), soit (modulo 7).

Par conséquent, l'ensemble des entiers relatifs x vérifiant (modulo 7) est .

De plus, on ne peut jamais diviser dans une relation de congruence.

Deuxième méthode

Tout entier est congru modulo 7 à un unique entier de l'ensemble.

On dresse la table de multiplication par 2 modulo 7 :

x (modulo 7)

0

1

2

3

4

5

6

2x (modulo 7)

0

2

4

6

1

3

5

On lit dans ce tableau :

(modulo 7) si, et seulement si, (modulo 7).

Ainsi, l'ensemble des entiers cherchés est .

2. Première méthode

Si est tel que (modulo 10), alors 10 divise.

Or 2 divise 10, donc 2 divise , et comme 2 divise 2x, 2 doit diviser 3,

ce qui est absurde. L'ensemble des entiers relatifs x tels que (modulo 10) est l'ensemble vide.

Deuxième méthode

On dresse de même le tableau de multiplication par 2 modulo 10 :

x (modulo 10)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2x (modulo 10)

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

Il n'existe donc pas d'entier relatif x tel que (modulo 10) : l'ensemble cherché est l'ensemble vide.

3. Première méthode

Pour tout, 15 divise,

il existe tel que,

il existetel que (on a divisé membre à membre par), (modulo 5).

L'ensemble des entiers relatifs x vérifiant (modulo 15) est.

Deuxième méthode

On dresse le tableau de multiplication par 3 modulo 15.

x (modulo 15)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

3x (modulo 15)

0

3

6

9

12

0

3

6

9

12

0

3

6

9

12

On lit : (modulo 15) si, et seulement si,

(modulo 15) ou (modulo 15) ou (modulo 15).

On remarque alors que si ,

,

et .

Comme tout entier n peut s'écrire sous l'une des formes 3k, ou , pour un certain, on en déduit que l'ensemble des entiers x vérifiant (modulo 15) est .

4. Tout entier relatif est congru modulo 6 à un, et un seul, des entiers

0 1 2 ... 5 (propriété 2 du cours).

On examine tous les cas possibles des carrés modulo 6 :

x (modulo 6)

0

1

2

3

4

5

x2 (modulo 6)

0

1

4

3

4

1

On obtient donc : (modulo 6) si, et seulement si, (modulo 6).

L'ensemble cherché est donc.

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