Exercice corrigé

congruences et division euclidienne

1. Calculer modulo 9 les nombres suivants : 20  21  22  23  24  25  26.

2. En déduire que pour tout ( modulo 9).

3. Soit

a. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 6. Montrer que :

(modulo 9).

b. En déduire, suivant les valeurs de l'entier n, le reste de la division euclidienne de par 9.

Voir le savoir-faire 1.

Cet exercice décrit un procédé classique pour simplifier une congruence avec des puissances (voir exercices 18 et 20).

1. On calcule successivement par multiplication par 2 :

(modulo 9)

(modulo 9)

(modulo 9)

(modulo 9)

(modulo 9)

(modulo 9)

(modulo 9) .

2. (modulo 9) .

Or pour tout, , donc (modulo 9).

3. Soit .

a. Soit r le reste et q le quotient dans la division euclidienne de n par 6 :

, avec et .

Alors .

Or (modulo 9) d'après 2.

Donc (modulo 9), soit (modulo 9).

b. Soit .

r est le reste de la division euclidienne de n par 6 si, et seulement si, ,

et (modulo 6) (cf. propriété 2 du cours).

De même est le reste de la division euclidienne de par 9 si, et seulement si, et (modulo 9).

On déduit alors de la question précédente et de la question 1. que dans la division euclidienne de par 9 :

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 1.

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 2.

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 4.

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 8.

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 7.

Si (modulo 6), (modulo 9) : le reste est donc 5.

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