1. Calculer modulo 9 les nombres suivants : 20 21 22 23 24 25 26.
2. En déduire que pour tout 
( modulo 9).
3. Soit 
a. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 6. Montrer que :
(modulo 9).
b. En déduire, suivant les valeurs de l'entier n, le reste de la division euclidienne de 
par 9.
| ● Voir le savoir-faire 1. ● Cet exercice décrit un procédé classique pour simplifier une congruence avec des puissances (voir exercices 18 et 20). |
1. On calcule successivement par multiplication par 2 :
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9)
● 
(modulo 9) .
2. 
(modulo 9) .
Or pour tout
, 
, donc 
(modulo 9).
3. Soit 
.
a. Soit r le reste et q le quotient dans la division euclidienne de n par 6 :
, avec 
et 
.
Alors 
.
Or 
(modulo 9) d'après 2.
Donc 
(modulo 9), soit 
(modulo 9).
b. Soit 
.
r est le reste de la division euclidienne de n par 6 si, et seulement si, 
,
et 
(modulo 6) (cf. propriété 2 du cours).
De même 
est le reste de la division euclidienne de 
par 9 si, et seulement si, 
et 
(modulo 9).
On déduit alors de la question précédente et de la question 1. que dans la division euclidienne de 
par 9 :
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 1.
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 2.
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 4.
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 8.
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 7.
● Si 
(modulo 6), 
(modulo 9) : le reste est donc 5.