1. Calculer modulo 9 les nombres suivants : 20 21 22 23 24 25 26.
2. En déduire que pour tout ( modulo 9).
3. Soit
a. Soit r le reste de la division euclidienne de n par 6. Montrer que :
(modulo 9).
b. En déduire, suivant les valeurs de l'entier n, le reste de la division euclidienne de par 9.
● Voir le savoir-faire 1. ● Cet exercice décrit un procédé classique pour simplifier une congruence avec des puissances (voir exercices 18 et 20). |
1. On calcule successivement par multiplication par 2 :
● (modulo 9)
● (modulo 9)
● (modulo 9)
● (modulo 9)
● (modulo 9)
● (modulo 9)
● (modulo 9) .
2. (modulo 9) .
Or pour tout,
, donc
(modulo 9).
3. Soit .
a. Soit r le reste et q le quotient dans la division euclidienne de n par 6 :
, avec
et
.
Alors .
Or (modulo 9) d'après 2.
Donc (modulo 9), soit
(modulo 9).
b. Soit .
r est le reste de la division euclidienne de n par 6 si, et seulement si, ,
et
(modulo 6) (cf. propriété 2 du cours).
De même est le reste de la division euclidienne de
par 9 si, et seulement si,
et
(modulo 9).
On déduit alors de la question précédente et de la question 1. que dans la division euclidienne de par 9 :
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 1.
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 2.
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 4.
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 8.
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 7.
● Si (modulo 6),
(modulo 9) : le reste est donc 5.