Exercice corrigé Ancien programme

Conjecture et validation

On considère la fonction numérique f définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x de , on ait :

.

On note sa fonction dérivée sur .

Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction f telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de f sur l'intervalle en observant cette courbe ?

Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

2. Calculer et vérifier que pour tout x de .

Pour la suite, on admet que g est dérivable sur et on note sa fonction dérivée.

3. Étude du signe de suivant les valeurs de x

a. Calculer et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

b. En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation sur .

c. Montrer que l'équation possède une unique solution dans

On note α cette solution. Justifier que .

d. Déterminer le signe de suivant les valeurs de x.

4. Sens de variation de la fonction f

a. Étudier le signe de suivant les valeurs de x.

b. En déduire le sens de variation de la fonction f.

c. Que penser de la conjecture de la question 1 ?

2. et 3. a. Revoir la formule donnant la dérivée d'un produit.

Conjecture et validation

1. En observant la courbe, on conjecture que f est décroissante sur l'intervalle .

2. On utilise avec , , et .

Pour tout x de , on a :

.

En factorisant par x, on a aussi .

On a bien .

3. a. On utilise avec , , et .

.

est du même signe que car une exponentielle est toujours positive.

Sur , on a , donc sur .

Sur , on a , donc sur .

b. g est croissante sur et g est décroissante sur .

c. l Sur , g est strictement croissante avec , donc .

L'équation n'admet pas de solution dans .

  •  Sur , g est continue et strictement décroissante avec .

L'équation possède une unique solution dans .

L'équation possède donc une unique solution dans .

On a et , donc .

d. Du tableau de variation, on déduit que est positif sur et est négatif sur .

4. a. On utilise .

b. f est donc décroissante sur , croissante sur et décroissante sur .

c. f n'est pas décroissante sur . La conjecture de la question 1 est donc fausse.

Les lectures graphiques peuvent conduire à des conclusions fausses. Un calcul est plus rigoureux.

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