Conjecture et validation

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles

On considère la fonction numérique f définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x de , on ait :

.

On note sa fonction dérivée sur .

Le graphique ci-contre est la courbe représentative de cette fonction f telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

1. Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de f sur l’intervalle en observant cette courbe ?

Dans la suite du problème, on va s’intéresser à la validité de cette conjecture.

2. Calculer et vérifier que pour tout x de .

Pour la suite, on admet que g est dérivable sur et on note sa fonction dérivée.

3. Étude du signe de suivant les valeurs de x

a. Calculer et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel x.

b. En déduire le sens de variation de la fonction g puis dresser son tableau de variation sur .

c. Montrer que l’équation possède une unique solution dans

On note α cette solution. Justifier que .

d. Déterminer le signe de suivant les valeurs de x.

4. Sens de variation de la fonction f

a. Étudier le signe de suivant les valeurs de x.

b. En déduire le sens de variation de la fonction f.

c. Que penser de la conjecture de la question 1 ?

2. et 3. a. Revoir la formule donnant la dérivée d’un produit.