Contrôle de qualité  (2)

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Statistiques


Soit une série statistique dont les valeurs distinctes x1, x2, …, xr ont pour effectifs respectifs n1, n2, …, nr . On note sa moyenne et son écart-type. Pour a et b deux réels fixés , on pose pour tout entier i compris entre 1 et r. On note la moyenne et l’écart-type de la série .

1. Démontrer que .

2. En déduire que .

Dans un concours, à une heure donnée, dix jurys examinent séparément dix candidats, auxquels ils décernent une note provisoire. Les notes définitives seront établies au vu de la moyenne et de l’écart-type de toutes les notes attribuées dans la journée par chaque jury.

Jury

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Note provisoire

12

10

11

15

12

15

15

10

12

12

Moyenne journalière

10

9

9

9

10

12

12

9

7

7

Écart-type journalier

2

3

3

3

3

3

2

2

3

2

1. D’après les notes provisoires, proposer un classement des candidats.

2. La note définitive est arrêtée en prenant comme référence le jury A : les autres jurys doivent ramener leur moyenne à 10 et leur écart-type à 2 en remplaçant les notes provisoires xi par , avec a et b des réels fixés dépendant du jury.

On impose pour que la fonction affine soit croissante sur , ainsi l’ordre des notes définitives sera le même que l’ordre des notes provisoires au sein d’un même jury.

Compléter le tableau suivant avec les valeurs a et b trouvées, ainsi que les notes définitives de chaque candidat, arrondies à 0,1 près.

Jury

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Couple

                 

Note définitive

12

                 

En déduire le classement final des candidats.

3. À l’aide des observations précédentes, commenter les affirmations :

a. Un candidat dont la note provisoire est 12 ne peut pas terminer dans les premiers.

b. Obtenir 11 quand la moyenne est 9, c’est comme obtenir 12 quand la moyenne est 10.

c. Quand la moyenne du jury est 12, obtenir 15 quand l’écart-type est 3, c’est mieux qu’obtenir 15 quand l’écart-type est 2.

d. En traçant les droites d’équation et dans un même repère, déterminer les valeurs de la note provisoire x pour lesquelles, la moyenne du jury étant de 9, obtenir x lorsque l’écart-type est 2 est mieux qu’obtenir x lorsque l’écart-type est 3.