Exercice corrigé Ancien programme

Coûts

On note C la fonction coût total pour une production d'une quantité x (x est positif). On admet que la fonction donnant le coût marginal est , dérivée de la fonction donnant le coût total.

Les deux questions sont indépendantes.

1. a. Sachant que la fonction C est convexe, que peut-on dire du coût
marginal ?

b. On donne le coût marginal . Vérifier que C est convexe.

2. a. Sachant que la fonction C admet un point d'inflexion, que peut-on dire du coût marginal ?

b. On donne le coût marginal . Vérifier que C admet un point d'inflexion.

Coûts

1. a. C étant une fonction convexe, sa dérivée , qui est aussi la fonction donnant le coût marginal, est croissante.

b.  est positif lorsque x est positif. Ainsi, Cm est une fonction croissante sur , ce qui revient à dire que C est convexe, comme on l'a vu dans la question précédente.

2. a. C étant une fonction qui admet un point d'inflexion, sa dérivée , qui est aussi la fonction donnant le coût marginal, change de sens de variation : elle est croissante puis décroissante ou alors décroissante puis croissante.

b.  est négatif sur et positif sur . Ainsi, Cm est une fonction décroissante sur et croissante sur . Puisque change de sens de variation, C admet un point d'inflexion en 4.

1. a. Conformément au théorème donné dans le rappel de cours (II. 1.), la réciproque est vraie : lorsque le coût marginal est une fonction croissante, la fonction C est convexe.

2. a. Là encore, la réciproque est vraie : lorsque le coût marginal change de sens de variation, la fonction C admet un point d'inflexion.

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