Exercice corrigé Ancien programme

dé truqué

On dispose d'un dé à 6 faces. On désigne par (k entier compris entre 1 et 6) la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée k.

Ce dé est pipé de sorte que :

les faces ne sont pas équiprobables 

p1, p2, p3, p4, p5, p6 dans cet ordre sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique 

les nombres p1, p2, p4 dans cet ordre sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

1. Démontrer que pour tout entier k compris entre 1 et 6.

Pour diminuer le nombre d'inconnues, on essayera d'abord d'exprimer les pi uniquement à l'aide de p1 et de la raison r de la suite arithmétique, puis on trouvera un lien entre r et la raison q de la suite géométrique.

2. On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :

A « le nombre obtenu est pair » 

B « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 » 

C « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».

a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements.

Il suffit de décomposer ces événements à l'aide des événements élémentaires.

b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu'il est pair.

Exploiter la formule du cours, II.

c. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Les événements A et C sont-ils indépendants ?

Pour l'indépendance de deux événements, voir le savoir-faire 3.

d. Reprendre la question c. en supposant cette fois le dé bien équilibré.

1. Soit r la raison de la suite arithmétique.

et

Donc sinon ce qui est contraire à l'énoncé.

Or la somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1, donc Donc (1)

Soit q la raison de la suite géométrique. et
or donc
Or donc donc car

Ainsi donc

En remplaçant dans (1), on trouve donc

Donc

Ainsi pour tout entier k compris entre 1 et 6.

Au bac, si on bloque sur ce genre de question, on peut la passer dans un premier temps et traiter la suite en utilisant le résultat donné dans l'énoncé.

2. a. Notons l'univers de cette expérience aléatoire.

donc soit

donc soit

donc soit

b. donc

donc

Donc soit

c. donc A et B ne sont pas indépendants.

donc

Donc A et C sont indépendants.

d. Si le dé est bien équilibré,

donc

Donc

donc A et B sont indépendants.

Ici, le dé étant bien équilibré, les probabilités correspondent aux proportions de cas favorables : la proportion des nombres pairs parmi les nombres supérieurs ou égaux à 3 (2 pairs pour 4 : proportion ) est bien la même que la proportion de nombres pairs dans les résultats possibles du dé (3 pairs pour 6 nombres : proportion ).

A et C sont indépendants.

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