On dispose d'un dé à 6 faces. On désigne par 
(k entier compris entre 1 et 6) la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotée k.
Ce dé est pipé de sorte que :
● les faces ne sont pas équiprobables
p1, p2, p3, p4, p5, p6 dans cet ordre sont six termes consécutifs d'une suite arithmétique
● les nombres p1, p2, p4 dans cet ordre sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
1. Démontrer que 
pour tout entier k compris entre 1 et 6.
| Pour diminuer le nombre d'inconnues, on essayera d'abord d'exprimer les pi uniquement à l'aide de p1 et de la raison r de la suite arithmétique, puis on trouvera un lien entre r et la raison q de la suite géométrique. |
2. On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A « le nombre obtenu est pair »
B « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 »
C « le nombre obtenu est 3 ou 4 ».
a. Calculer la probabilité de chacun de ces événements.
| Il suffit de décomposer ces événements à l'aide des événements élémentaires. |
b. Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu'il est pair.
| Exploiter la formule du cours, II. |
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Les événements A et C sont-ils indépendants ?
| Pour l'indépendance de deux événements, voir le savoir-faire 3. |
d. Reprendre la question c. en supposant cette fois le dé bien équilibré.
1. Soit r la raison de la suite arithmétique.
et 
Donc 
sinon 
ce qui est contraire à l'énoncé.
Or la somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1, donc 
Donc 
(1)
Soit q la raison de la suite géométrique. 
et 
or 
donc 
Or 
donc 
donc 
car 
Ainsi 
donc 
En remplaçant dans (1), on trouve 
donc 
Donc 
Ainsi 
pour tout entier k compris entre 1 et 6.
| Au bac, si on bloque sur ce genre de question, on peut la passer dans un premier temps et traiter la suite en utilisant le résultat donné dans l'énoncé. |
2. a. Notons 
l'univers de cette expérience aléatoire.
donc 
soit 
donc 
soit 
donc 
soit 
b. 
donc 
donc 
Donc 
soit 
c. 
donc A et B ne sont pas indépendants.
donc 
Donc A et C sont indépendants.
d. Si le dé est bien équilibré, 
donc 
Donc 
donc A et B sont indépendants.
| Ici, le dé étant bien équilibré, les probabilités correspondent aux proportions de cas favorables : la proportion des nombres pairs parmi les nombres supérieurs ou égaux à 3 (2 pairs pour 4 : proportion |
) est bien la même que la proportion de nombres pairs dans les résultats possibles du dé (3 pairs pour 6 nombres : proportion 
).
A et C sont indépendants.