Exercice corrigé Ancien programme

Décollage d'une fusée

Une fusée de type Ariane 4 a une masse initiale de 470 tonnes. Son premier étage contient 230 tonnes d'ergol (mélange propulseur). La force motrice du premier étage est de 6,0 MN.

On utilisera le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Les frottements sont considérés comme négligeables, on considérera aussi que la masse de la fusée est quasi constante (on néglige la perte de poids due au carburant) pendant les premiers instants du décollage.

1. Faire le bilan des forces qui s'exercent sur la fusée dans le référentiel terrestre, au moment du décollage.

2. En utilisant la 2e loi de Newton, calculer la valeur de l'accélération initiale, au moment du décollage.

3. En considérant maintenant que la masse de la fusée diminue au cours du temps – puisqu'elle éjecte du gaz – que va devenir la valeur de l'accélération de la fusée (la force motrice restant constante) ?

4. On cherche maintenant à étudier le système en utilisant la notion de quantité de mouvement, lorsque la fusée est dans l'espace (on négligera son poids). On suppose que la vitesse des gaz d'échappement est constante et la masse de ces gaz éjectée par seconde aussi.

a. Le système est-il isolé ?

b. Que peut-on en déduire concernant le bilan global de quantité de mouvement du système ?

On suppose dans la suite que la quantité de mouvement totale du système est nulle.

c. Exprimer le vecteur vitesse de la fusée en fonction de la vitesse des gaz d'échappement , de la masse de la fusée m et de la masse de gaz éjectée (à chaque unité de temps).

d. Expliquer pourquoi la vitesse de la fusée va augmenter au cours du temps.

1. Au décollage, la fusée subit son poids et la force motrice.

2. On écrit la 2e loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, m étant supposé quasi constant au décollage : .

En projection sur un axe vertical orienté vers le haut :

.

3. Après le décollage, la masse m de la fusée va diminuer, la question précédente montre alors que l'accélération a ne peut qu'augmenter.

4. a. Dans l'espace (si on néglige le poids), le système ne subit aucune force extérieure. Il est donc isolé.

b. La 2e loi de Newton s'écrit donc : .

On en déduit que la quantité de mouvement du système est constante.

c. On fait l'hypothèse que la quantité de mouvement totale est en fait nulle. On en déduit donc .

Soit , et en projection .

d. La vitesse de la fusée augmente au fur et à mesure qu'elle « éjecte » des gaz brûlés, et ce d'autant plus vite que sa masse diminue.

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