Exercice corrigé Ancien programme

définition de la limite

Établir, à l'aide de la définition, chacune des limites suivantes :

1. La suite un définie pour tout a pour limite 0 quand n tend vers

2. La suite vn définie pour tout a pour limite quand n tend vers

3. La suite wn définie pour tout a pour limite quand n tend vers

 

Voir le savoir-faire 1.

 

1. Pour tout Donc il suffit de montrer que tout intervalle ouvert de la forme ]0  e[ (avec e > 0) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Soit e > 0.

(car la fonction carré est strictement croissante sur ).

Soit n0 le plus petit entier supérieur ou égal à . Alors, pour tout

Donc la suite (un) converge vers 0.

2. Soit M un réel négatif.

Notons n0 le plus petit entier supérieur ou égal à

Alors, pour tout

Donc la suite (vn) a pour limite quand n tend vers .

3. La suite wn définie, pour tout a pour limite – quand n tend vers .

Soit e un réel strictement positif :

 

 

(multiplication par )

 

Notons n0 le plus petit entier naturel ou égal à

Alors, pour tout

 

Donc la suite (un) a pour limite – quand n tend vers .

 

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