Établir, à l'aide de la définition, chacune des limites suivantes :
1. La suite un définie pour tout 
a pour limite 0 quand n tend vers 
2. La suite vn définie pour tout 
a pour limite 
quand n tend vers 
3. La suite wn définie pour tout 
a pour limite 
quand n tend vers 
| Voir le savoir-faire 1. |
1. Pour tout 
Donc il suffit de montrer que tout intervalle ouvert de la forme ]0 e[ (avec e > 0) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Soit e > 0.
(car la fonction carré est strictement croissante sur 
).
Soit n0 le plus petit entier supérieur ou égal à 
. Alors, pour tout 
Donc la suite (un) converge vers 0.
2. Soit M un réel négatif.
Notons n0 le plus petit entier supérieur ou égal à 
Alors, pour tout 
Donc la suite (vn) a pour limite 
quand n tend vers 
.
3. La suite wn définie, pour tout 
a pour limite –
quand n tend vers 
.
Soit e un réel strictement positif :
(multiplication par 
)
Notons n0 le plus petit entier naturel ou égal à 
Alors, pour tout 
Donc la suite (un) a pour limite –
quand n tend vers 
.