Exercice corrigé Ancien programme

démonstration

L'objectif de cet exercice est de démontrer que, si une suite (un) est croissante et tend vers le réel l, alors, pour tout n, unl.

Pour cela, on procède par l'absurde.

1. Énoncer la propriété contraire à celle de la conclusion  «  pour tout n, unl »

2. Soit donc n0 un entier tel que > l . Posons e = - l.

a. Quel est le signe de e ?

b. Justifier que, quelque soit nn0, un ∉ ]l - e   l + e[ ?

c. Conclure.

Raisonnons par l'absurde.

1. La propriété contraire à « pour tout n, » est « il existe un entier n0 tel que

2. a. donc l > 0, soit e > 0.

b. l + e = donc, la suite (un) étant croissante, pour tout soit à fortiori, un ∉ ]l – e l + e[.

c. On a trouvé un intervalle ouvert contenant l pour lequel il n'existe pas de rang à partir duquel les termes de la suite appartiennent à cet intervalle. Cela signifie que la suite (un) ne converge pas vers l. D'où la contradiction.

Donc toute suite (un) croissante et tendant vers le réel l vérifie, pour tout n,

 

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