Soit q un réel strictement supérieur à 1.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que
Considérons la suite définie, pour tout
par
1. Déterminer le sens de variation de la suite
2. Quelle relation de récurrence vérifie la suite ?
3. Soit A un réel positif. Nous allons démontrer, en raisonnant par l’absurde, la proposition suivante, notée (P) « il existe un entier n tel que ».
a. Supposons que (P) n’ait pas lieu. Énoncer la propriété contraire à la
propriété (P).
b. Montrer qu’alors la suite est bornée. En déduire qu’elle converge vers un réel l.
c. Soit f la fonction définie sur par
Montrer que l est solution de l’équation
Voir le théoréme III.3 et le savoir-faire 4. |
d. Résoudre cette équation, puis faire apparaître la contradiction.
e. Conclure.
4. Démontrer que la suite diverge vers + ∞.
Voir la définition d’une limite infinie dans le cours du chapitre 1, I.2. |