Exercice corrigé Ancien programme

démonstration de limite

Soit q un réel strictement supérieur à 1.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que

Considérons la suite définie, pour tout par

1. Déterminer le sens de variation de la suite

2. Quelle relation de récurrence vérifie la suite  ?

3. Soit A un réel positif. Nous allons démontrer, en raisonnant par l'absurde, la proposition suivante, notée (P) « il existe un entier n tel que  ».

a. Supposons que (P) n'ait pas lieu. Énoncer la propriété contraire à la
propriété (P).

b. Montrer qu'alors la suite est bornée. En déduire qu'elle converge vers un réel l.

c. Soit f la fonction définie sur par 

Montrer que l est solution de l'équation

Voir le théoréme III.3 et le savoir-faire 4.

d. Résoudre cette équation, puis faire apparaître la contradiction.

e. Conclure.

4. Démontrer que la suite diverge vers + ∞.

Voir la définition d'une limite infinie dans le cours du chapitre 1, I.2.

1. donc est strictement positif quel que soit

Alors donc la suite (un) est strictement croissante sur

2. donc la relation de récurrence vérifiée par la suite est .

3. a. La propriété contraire à la propriété (P) est « aucun entier n n'est tel que», autrement dit « pour tout entier n,  »

b. D'après a., la suite est majorée par A. Une suite strictement croissante majorée converge, donc converge vers un réel l.

c. D'après le 2., , où f est une fonction continue, donc, comme converge vers l, autrement dit, l est solution de l'équation

d. ou

Or donc cela signifierait que Or, et la suite est strictement croissante, donc, pour tout la suite ne peut pas converger vers 0, ce qui est contradictoire.

En effet, si convergeait vers 0, tous les termes de la suite à partir d'un certain rang seraient très proches de 0. Or ici, ils sont tous au moins à une distance supérieure à 1 de car ils vérifient tous

e. Si on prend le contraire de la proposition (P), on aboutit à une contradiction. On en conclut que la proposition (P) est vraie, quel que soit le réel A.

4. Quel que soit le réel A, aussi grand que l'on veut, il existe au moins un terme de la suite qui est plus grand que A. Puis, comme la suite est strictement croissante, tous les termes suivants sont supérieurs à A. On en déduit que la suite diverge vers

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