Soit q un réel strictement supérieur à 1.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que 
Considérons la suite 
définie, pour tout 
par 
1. Déterminer le sens de variation de la suite 
2. Quelle relation de récurrence vérifie la suite 
?
3. Soit A un réel positif. Nous allons démontrer, en raisonnant par l’absurde, la proposition suivante, notée (P) « il existe un entier n tel que 
».
a. Supposons que (P) n’ait pas lieu. Énoncer la propriété contraire à la
propriété (P).
b. Montrer qu’alors la suite 
est bornée. En déduire qu’elle converge vers un réel l.
c. Soit f la fonction définie sur 
par 
Montrer que l est solution de l’équation 
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Voir le théoréme III.3 et le savoir-faire 4. |
d. Résoudre cette équation, puis faire apparaître la contradiction.
e. Conclure.
4. Démontrer que la suite 
diverge vers + ∞.
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Voir la définition d’une limite infinie dans le cours du chapitre 1, I.2. |
