démonstration de limite

Soit q un réel strictement supérieur à 1.

L’objectif de cet exercice est de démontrer que

Considérons la suite définie, pour tout par

1. Déterminer le sens de variation de la suite

2. Quelle relation de récurrence vérifie la suite  ?

3. Soit A un réel positif. Nous allons démontrer, en raisonnant par l’absurde, la proposition suivante, notée (P) « il existe un entier n tel que  ».

a. Supposons que (P) n’ait pas lieu. Énoncer la propriété contraire à la
propriété (P).

b. Montrer qu’alors la suite est bornée. En déduire qu’elle converge vers un réel l.

c. Soit f la fonction définie sur par 

Montrer que l est solution de l’équation

d. Résoudre cette équation, puis faire apparaître la contradiction.

e. Conclure.

4. Démontrer que la suite diverge vers + ∞.