L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème du toit « Si deux plans sécants (P1 ) et (P2 ) contiennent respectivement des droites (d1 ) et (d2 ) parallèles entre elles, alors la droite d'intersection D de (P1 ) et (P2 ) est parallèle à (d1 ) et à (d2 ) ».
Pour cela, on munit l'espace d'un repère orthonormé 
On considère deux plans sécants (P1) et (P2), de vecteurs normaux respectivement 
et 
et contenant tous deux le point I. On suppose qu'il existe deux droites (d1) et (d2) incluses respectivement dans (P1) et (P2) et telles que (d1) et (d2) soient parallèles.
Soit (Q) le plan caractérisé par le point I et les vecteurs 
et 
1. Justifier la non colinéarité de 
et 
2. Soit 
la droite d'intersection de (P1) et (P2), et soit 
un vecteur directeur de 
Démontrer que 
est normal au plan (Q).
| Bien relire la définition d'un vecteur normal et sa conséquence. |
3. Soit 
un vecteur directeur de (d1). Démontrer que 
est également normal au plan (Q).
4. Conclure.
1. Si 
étaient colinéaires, alors 
serait aussi un vecteur normal à (P1) et donc (P1) et (P2) seraient parallèles. Comme de plus, ils ont le point I en commun, ils seraient confondus et non pas sécants. Donc 
ne peuvent pas être colinéaires.
2. 
est contenue dans (P1), donc 
est un vecteur du plan (P1) et 
est donc orthogonal à 
De même, 
est contenue dans (P2), donc 
est un vecteur du plan (P2) et 
est donc orthogonal à 
Ainsi, 
est un vecteur normal au plan (Q).
3. 
est un vecteur directeur de (d1) qui est incluse dans (P1), donc 
sont orthogonaux. De plus, (d2) est parallèle à (d1), donc 
est aussi un vecteur directeur de (d2) qui est incluse dans (P2), donc 
sont orthogonaux. Ainsi, 
est un vecteur normal au plan (Q).
4. Donc 
sont colinéaires, donc 
est également un vecteur directeur de 
donc 
est parallèle à (d1) et (d2).