démonstration du théorème du toit

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace

L’objectif de cet exercice est de démontrer le théorème du toit « Si deux plans sécants (P1 ) et (P2 ) contiennent respectivement des droites (d1 ) et (d2 ) parallèles entre elles, alors la droite d’intersection D de (P1 ) et (P2 ) est parallèle à (d1 ) et à (d2 ) ».

Pour cela, on munit l’espace d’un repère orthonormé

On considère deux plans sécants (P1) et (P2), de vecteurs normaux respectivement et et contenant tous deux le point I. On suppose qu’il existe deux droites (d1) et (d2) incluses respectivement dans (P1) et (P2) et telles que (d1) et (d2) soient parallèles.

Soit (Q) le plan caractérisé par le point I et les vecteurs et

1. Justifier la non colinéarité de et

2. Soit la droite d’intersection de (P1) et (P2), et soit un vecteur directeur de Démontrer que est normal au plan (Q).

Bien relire la définition d’un vecteur normal et sa conséquence.

3. Soit un vecteur directeur de (d1). Démontrer que est également normal au plan (Q).

4. Conclure.