L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème du toit « Si deux plans sécants (P1 ) et (P2 ) contiennent respectivement des droites (d1 ) et (d2 ) parallèles entre elles, alors la droite d'intersection D de (P1 ) et (P2 ) est parallèle à (d1 ) et à (d2 ) ».
Pour cela, on munit l'espace d'un repère orthonormé
On considère deux plans sécants (P1) et (P2), de vecteurs normaux respectivement et
et contenant tous deux le point I. On suppose qu'il existe deux droites (d1) et (d2) incluses respectivement dans (P1) et (P2) et telles que (d1) et (d2) soient parallèles.
Soit (Q) le plan caractérisé par le point I et les vecteurs et
1. Justifier la non colinéarité de et
2. Soit la droite d'intersection de (P1) et (P2), et soit
un vecteur directeur de
Démontrer que
est normal au plan (Q).
Bien relire la définition d'un vecteur normal et sa conséquence. |
3. Soit un vecteur directeur de (d1). Démontrer que
est également normal au plan (Q).
4. Conclure.
1. Si étaient colinéaires, alors
serait aussi un vecteur normal à (P1) et donc (P1) et (P2) seraient parallèles. Comme de plus, ils ont le point I en commun, ils seraient confondus et non pas sécants. Donc
ne peuvent pas être colinéaires.
2. est contenue dans (P1), donc
est un vecteur du plan (P1) et
est donc orthogonal à
De même,
est contenue dans (P2), donc
est un vecteur du plan (P2) et
est donc orthogonal à
Ainsi,
est un vecteur normal au plan (Q).
3. est un vecteur directeur de (d1) qui est incluse dans (P1), donc
sont orthogonaux. De plus, (d2) est parallèle à (d1), donc
est aussi un vecteur directeur de (d2) qui est incluse dans (P2), donc
sont orthogonaux. Ainsi,
est un vecteur normal au plan (Q).
4. Donc sont colinéaires, donc
est également un vecteur directeur de
donc
est parallèle à (d1) et (d2).