Exercice corrigé Ancien programme

démonstration du théorème du toit

L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème du toit « Si deux plans sécants (P1 ) et (P2 ) contiennent respectivement des droites (d1 ) et (d2 ) parallèles entre elles, alors la droite d'intersection D de (P1 ) et (P2 ) est parallèle à (d1 ) et à (d2 ) ».

Pour cela, on munit l'espace d'un repère orthonormé

On considère deux plans sécants (P1) et (P2), de vecteurs normaux respectivement et et contenant tous deux le point I. On suppose qu'il existe deux droites (d1) et (d2) incluses respectivement dans (P1) et (P2) et telles que (d1) et (d2) soient parallèles.

Soit (Q) le plan caractérisé par le point I et les vecteurs et

1. Justifier la non colinéarité de et

2. Soit la droite d'intersection de (P1) et (P2), et soit un vecteur directeur de Démontrer que est normal au plan (Q).

Bien relire la définition d'un vecteur normal et sa conséquence.

3. Soit un vecteur directeur de (d1). Démontrer que est également normal au plan (Q).

4. Conclure.

1. Si étaient colinéaires, alors serait aussi un vecteur normal à (P1) et donc (P1) et (P2) seraient parallèles. Comme de plus, ils ont le point I en commun, ils seraient confondus et non pas sécants. Donc ne peuvent pas être colinéaires.

2. est contenue dans (P1), donc est un vecteur du plan (P1) et est donc orthogonal à De même, est contenue dans (P2), donc est un vecteur du plan (P2) et est donc orthogonal à Ainsi, est un vecteur normal au plan (Q).

3. est un vecteur directeur de (d1) qui est incluse dans (P1), donc sont orthogonaux. De plus, (d2) est parallèle à (d1), donc est aussi un vecteur directeur de (d2) qui est incluse dans (P2), donc sont orthogonaux. Ainsi, est un vecteur normal au plan (Q).

4. Donc sont colinéaires, donc est également un vecteur directeur de donc est parallèle à (d1) et (d2).

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