Exercice corrigé Ancien programme

dépistage systématique

Une maladie atteint une fraction x (comprise entre 0 et 1) d'une population. On veut tester systématiquement tous les individus de cette population pour savoir s'ils sont porteurs de la maladie.

Un laboratoire pharmacologique produit un test de dépistage dont les caractéristiques sont les suivants :

la probabilité qu'un individu atteint ait un test positif est 0, 99 

la probabilité qu'un individu non atteint ait un test négatif est 0, 99.

On teste un individu au hasard dans la population. On note A l'événement
« l'individu est atteint » et T l'événement « le test est positif ».

On va étudier la valeur prédictive positive du test c'est-à-dire la probabilité qu'un individu dont le test est positif soit effectivement atteint.

1. Construire un arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2. Calculer la probabilité de l'événement T.

3. a. Établir que la valeur prédictive positive du test est donnée par la fonction

Sans autre information dans l'énoncé, on utilise la formule du cours, II.

b. Étudier les variations de la fonction f sur

c. Reproduire et compléter le tableau. Arrondir à près.

  1. x

    0,001

    0,01

    0,1

    0,5

    0,9

             

             

d. En déduire l'inconvénient majeur de ce test s'il s'agit d'une maladie rare.

Que devient x dans le cas d'une maladie rare ?

e. Que devient l'efficacité de ce test si on ne l'applique qu'à une population présentant des symptômes de la maladie ?

4. a. Démontrer que la probabilité qu'un individu ayant un test négatif ne soit pas atteint est donnée par la formule

b. Quel est le sens de variation de sur ?

c. En déduire que si

d. Que peut-on en déduire pour un individu dont le test est négatif dans le cas d'une maladie rare ?

1. L'individu testé ayant été choisi au hasard, ce test se fait de façon équiprobable parmi tous les individus de cette population. La fraction d'individus atteints de cette population étant x,

On a également et d'où l'arbre pondéré complété avec la règle des nœuds.

2.

.

En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2.

3. a. donc

soit

b.

Pour trouver les variations de f, on étudie le signe de f.

est dérivable sur donc sur

Donc sur et est strictement croissante sur

c. d'où le tableau :

  1. x

    0,001

    0,01

    0,1

    0,5

    0,9

    0,090 2

    0,5

    0,916 7

    0,99

    0,998 9

    0,909 8

    0,5

    0,083 3

    0,01

    0,001 1

On utilise la calculatrice avec la fonction : ne pas oublier les parenthèses !

d. S'il s'agit d'une maladie rare, la proportion x d'individus atteints est proche de zéro, donc la probabilité que la personne testée soit atteinte sachant que le test est positif est faible : on risque donc d'alerter inutilement des individus sains.

e. Si la population présente des symptômes de la maladie, la proportion x d'individus atteints parmi cette population se rapproche de 1. Il s'ensuit que la probabilité d'être malade sachant que le test est positif devient très proche de 1, donc que le test devient davantage prédictif.

4. a. car

Donc

Sans autre information dans l'énoncé, on utilise la formule du cours, II.

b. Soit a, b deux réels dans tels que

Alors

Donc donc

Or f est strictement croissante sur d'après 3. b.

Donc

Donc est strictement décroissante sur .

Autre méthode : on dérive à l'aide de la dérivée d'une composée. On obtient sur car d'après les calculs faits en 2.b.

c. Si donc

donc soit soit :

.

d. Dans le cas d'une maladie rare, x est proche de zéro donc certainement inférieur à . La probabilité que l'individu ne soit pas atteint sachant que le test est négatif est très proche de 1: cela doit pouvoir le rassurer.

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