dépistage systématique

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles

Une maladie atteint une fraction x (comprise entre 0 et 1) d’une population. On veut tester systématiquement tous les individus de cette population pour savoir s’ils sont porteurs de la maladie.

Un laboratoire pharmacologique produit un test de dépistage dont les caractéristiques sont les suivants :

la probabilité qu’un individu atteint ait un test positif est 0, 99 ;

la probabilité qu’un individu non atteint ait un test négatif est 0, 99.

On teste un individu au hasard dans la population. On note A l’événement
« l'individu est atteint » et T l’événement « le test est positif ».

On va étudier la valeur prédictive positive du test c’est-à-dire la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit effectivement atteint.

1. Construire un arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2. Calculer la probabilité de l’événement T.

3. a. Établir que la valeur prédictive positive du test est donnée par la fonction

Sans autre information dans l’énoncé, on utilise la formule du cours, II.

b. Étudier les variations de la fonction f sur

c. Reproduire et compléter le tableau. Arrondir à près.

  1. x

    0,001

    0,01

    0,1

    0,5

    0,9

             

             

d. En déduire l’inconvénient majeur de ce test s’il s’agit d’une maladie rare.

Que devient x dans le cas d’une maladie rare ?

e. Que devient l’efficacité de ce test si on ne l’applique qu’à une population présentant des symptômes de la maladie ?

4. a. Démontrer que la probabilité qu’un individu ayant un test négatif ne soit pas atteint est donnée par la formule

b. Quel est le sens de variation de sur ?

c. En déduire que si

d. Que peut-on en déduire pour un individu dont le test est négatif dans le cas d’une maladie rare ?