Des lapins au nombre d'or

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Suites


Soit la suite définie par et pour tout .

On admet que pour tout .

1. Démontrer que la suite est majorée par 1 : pour cela, on raisonnera par l’absurde en supposant qu’il existe au moins un rang n tel que . On prend le plus petit rang N vérifiant cette inégalité, et on aboutit à une contradiction.

2. Démontrer que la suite est strictement croissante sur .

3. Dans le repère orthonormal , représenter graphiquement sur l’intervalle , à l’échelle 4 cm pour une unité, la fonction et la fonction .

4. Placer u0 sur l’axe des abscisses, puis son image u1 par f sur l’axe des ordonnées. L’antécédent de u1 par g est u1 sur l’axe des abscisses. Lire graphiquement la valeur de u1.

L’utilisation de , la « première bissectrice », sert à rabattre la valeur u1 sur l’axe des abscisses.

5. Déterminer graphiquement de la même manière la valeur de u2, puis de u3.

6. Poursuivre la construction autant que possible. Qu’observe-t-on ?

On verra en terminale que toute suite croissante majorée converge, c’est-à-dire que les termes de la suite s’approchent infiniment près d’une valeur qui est la limite de la suite. Les questions 1. et 2. permettent donc d’affirmer que est une suite convergente, et que sa limite est inférieure ou égale à 1.

7. Recommencer la construction avec . Que constate-t-on graphiquement ? Pourquoi la démonstration du 1. n’est-elle plus valable dans ce cas ? Démontrer que est alors une suite strictement décroissante minorée par 1 (et donc, convergente).