Exercice corrigé Ancien programme

Désintégration des muons atmosphériques

Le rayonnement cosmique est constitué de particules très énergétiques et relativistes qui viennent frapper les hautes couches de l'atmosphère. Il s'agit essentiellement de protons qui en frappant des noyaux atomiques subissent une collision inélastique qui produit entre autres choses des muons. Ces collisions se produisent à une altitude de l'ordre de .

Les expériences en laboratoire ont prouvé qu'un muon au repos a une durée de vie . On sait que la loi de désintégration des muons est donnée par l'expression générale :

(1)

est le nombre de muons restant après le temps t, et N0 le nombre de muons initialement produits.

L'expérience de Rossi et Hall en 1941 a consisté à mesurer au sommet d'une montagne (mont Washington, d'altitude) le nombre N1 de muons détectés en 1 heure, et le nombre N2 de muons près de la mer à une altitude .

L'appareillage était réglé pour détecter des muons d'une énergie bien précise, correspondant à une vitesse .

L'expérience donna : et .

1. En raisonnant d'un point de vue newtonien (donc non relativiste), calculer le temps T que mettent les muons à parcourir les 1 907 m qui séparent l'altitude du sommet du mont Washington de celle du site près de la mer.

2. En utilisant la relation (1), exprimer le rapport en fonction de T.

3. Avec la relation de la question 2., calculer numériquement N2 (le nombre de muons atteignant le niveau de la mer) en utilisant la valeur N1 donnée, et comparer au résultat de l'expérience. Justifier sans calcul la nécessité de faire un raissonement relativiste.

4. Définir les deux référentiels galiléens utiles dans cette expérience.

5. Calculer le coefficient γ correspondant à l'expérience.

6. Exprimer d'un point de vue relativiste le rapport correspondant à l'expérience faite par un observateur immobile dans le référentiel R lié à la Terre.

7. Calculer numériquement N2 à partir de N1. Montrer que le résultat est compatible avec les mesures expérimentales.

8. Quels sont les phénomènes qui peuvent engendrer les incertitudes mesurées dans cette expérience ?

On remarquera que la loi de désintégration des muons est une loi de décroissance exponentielle, la population de muons est initialement définie par N0, la constante τ est un temps caractéristiques du muon. On peut étudier la désintégration d'autres particules avec une loi semblable, la différence portant sur la valeur de la constante de temps, qui représente finalement la signature de chaque type de particule.

1. On cherche le temps . On remarque qu'avec un raisonnement newtonien, T est 3 fois supérieur à la valeur de la durée de vie du muon.

2. On part des deux expressions :

En faisant le quotient des deux on obtient :

.

3. On suppose que , la question précédente donne donc :

,

soit  muons par heure.

Cela est très inférieur à la valeur de 408 mesurée expérimentalement. On doit faire un raisonnement relativiste, vu la grande vitesse des muons, car clairement le calcul classique ne donne pas du tout le bon ordre de grandeur.

4. On définit le référentiel du laboratoire R et le référentiel du muon (qui se déplace à la vitesse par rapport à R). Ces deux référentiels sont supposés être en translation l'un par rapport à l'autre, ils sont galiléens.

5. Le calcul donne : .

6. On reprend le raisonnement de la question 2., mais en se plaçant dans le référentiel du laboratoire on doit considérer que la durée de vie des muons n'est plus simplement τ mais bien γ τ, car τ est une durée associée au référentiel des muons et non pas au référentiel du laboratoire.

On écrit donc :

d'où finalement :

.

7. On suppose que , la question précédente donne donc :

 muons par heure.

Cette fois on obtient le bon ordre de grandeur. Cette expérience permet de mettre en évidence l'existence des effets relativistes.

Les incertitudes sont de l'ordre de soit environ 2,5 %. Les appareils de mesure ne sont pas parfaits, ils peuvent se déclencher arbitrairement ou bien détecter d'autres particules que des muons (bruit).

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