Exercice corrigé Ancien programme

discrimination

L'entreprise GrobraSA emploie 1350 salariés, dont 560 femmes.

1. Dans une entreprise de 1 350 salariés ne faisant pas de discrimination à l'embauche, donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de femmes. Peut-on raisonnablement dire que cette entreprise respecte la parité ?

Voir le savoir-faire 3.

2. Sous l'impulsion d'une nouvelle direction, l'entreprise décide d'embaucher x femmes. x désigne un entier naturel.

a. Déterminer la fréquence f (x) du nombre de femmes dans l'entreprise.

b. Quel doit être le nombre de femmes embauchées pour assurer un respect strict de la parité, c'est-à-dire tel que

3. Dans une entreprise de salariés ne faisant pas de discrimination à l'embauche :

a. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95.

b. Étudier les variations de la fonction définie pour par :

c. En déduire le nombre minimal de femmes devant être embauchées pour pouvoir affirmer que l'entreprise GrosbraSA respecte la parité au seuil de 95 %.

1. En supposant que la proportion de femmes dans la population active est de 0,5, sous l'hypothèse qu'une entreprise de 1 350 salariés n'exerce pas de discrimination à l'embauche, le nombre de femmes employés suit donc une loi binomiale de paramètres et .

l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de femmes employées est donc :

soit en arrondissant les bornes à 0,001 près.

Voir le cours, V.

La fréquence des femmes réellement observée dans l'entreprise GrobraSA est . Comme f n'est pas dans cet intervalle, on rejette l'hypothèse de parité au risque de 5 %.

2. a. Il y a désormais femmes pour employés, donc :

b. équivaut successivement à

car donc

.

Il faut embaucher 230 femmes pour le strict respect de la parité.

3. a. Pour , , donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de est donné par :

 

.

et

b. La fonction g définie par est dérivable sur , de dérivée :

Or donc , puis par croissance de la fonction carrée sur .

Donc car d'où :

On en déduit sur , donc g est strictement croissante sur

c. Pour pouvoir affirmer que l'entreprise respecte la parité au seuil de 95 %, il faut et il suffit que la fréquence de femmes observée soit dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, donc que , ce qui équivaut à :

.

Or

donc pour .

Comme g est continue, strictement croissante sur , et vérifie près et près, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que g s'annule exactement une fois sur .

Voir le cours du chapitre 2, III 4.

Avec la fonction Table de la calculatrice, on constate que et . Donc la plus petite valeur entière de x pour laquelle c'est-à-dire , est 154. On vérifie alors que pour , on a bien aussi :

près près.

Le nombre minimal de femmes à embaucher est de 154.

230 femmes supplémentaires assurant le strict respect de la parité, qui est bien sûr plus contraignant que le respect de l'intervalle de fluctuation à 95 %, on pouvait bien se limiter à travailler sur l'intervalle . On vérifie que la valeur de x nécessaire est bien dans cet intervalle, le seul sur lequel on a étudié la fonction g.

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