Exercice corrigé Ancien programme

Distance d'un point à une droite

L'espace est muni d'un repère orthonormal

Partie A.

Soit (P) le plan d'équation

1. Vérifier que (P), puis donner un vecteur normal à (P) que l'on notera .

2. Soit On veut déterminer la distance du point A au plan (P), c'est-à-dire la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur (P).

a. Exprimer en fonction de la distance AH. En déduire .

 

Utiliser la relation de Chasles.

b. En déduire la distance de A au plan (P).

Partie B.

Cas général. Soit (P) le plan d'équation désigne un point de (P), et le vecteur de coordonnées

Soit un point de l'espace et H son projeté orthogonal sur le plan (P).

1. Exprimer en fonction de AH, a, b et c

2. Montrer que

3. Exprimer alors la distance de A à (P ) en fonction de x, z, a, b, c et d.

Partie A

1. donc

D'après le cours, est normal à (P).

2. a. car M et H sont 2 points de (P), est orthogonal au vecteur normal au plan.

étant colinéaires,

Donc soit :

b. La distance de A au plan (P) est égale à AH.

Or d'après 2., et

donc Donc :

 

Toujours vérifier que le résultat obtenu est positif.

Partie B

1.

et étant colinéaires,

Donc , soit

2.

donc , soit

D'où

3.Donc la distance de au plan (P) vaut soit :

 

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