Exercice corrigé Ancien programme

diviseurs d'un entier

1. a. Soit q et r deux entiers naturels. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de

b. En déduire le nombre de zéros du nombre 1 250 . . . 0 pour qu'il ait 130 diviseurs positifs.

2. Soit On note sa décomposition en facteurs premiers. Soit d un diviseur quelconque de exprimer d en fonction de p1, p2 , . . . , pr.

3. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.

1. a. Soit d un diviseur positif de. Il existe tel que .

Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, on doit retrouver les facteurs premiers 2 et 5 (et uniquement eux) dans la décomposition de d et de k, c'est-à-dire et .

Il y a donc q + 1 possibilités pour q'et r + 1 possibilités pour r, et donc possibilités pour d. Le nombre de diviseurs de .

b. avec n le nombre de zéros de 1250…0.

Donc: il a diviseurs.

.

Il y a deux racines, dont une seule est positive,.

Le nombre cherché est donc 125 000 000 000.

2. Si p est un nombre premier divisant d, alors p divise aussi n, donc les nombres premiers apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d apparaissent aussi dans celle de n.

Donc sont des entiers naturels éventuellement nuls et tels que pour tout (car divise d et donc n).

3. II s'agit de dénombrer toutes les combinaisons possibles de facteurs premiers.

On sait qu'un diviseur s'écrit et on a possibilités pour  : de 0 à possibilités pour, de 0 à …, possibilités pour, de 0 à ce qui fait en tout
diviseurs positifs.

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