1. a. Soit q et r deux entiers naturels. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de 
b. En déduire le nombre de zéros du nombre 1 250 . . . 0 pour qu'il ait 130 diviseurs positifs.
2. Soit 
On note 
sa décomposition en facteurs premiers. Soit d un diviseur quelconque de n exprimer d en fonction de p1, p2 , . . . , pr.
3. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n.
1. a. Soit d un diviseur positif de
. Il existe 
tel que 
.
Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, on doit retrouver les facteurs premiers 2 et 5 (et uniquement eux) dans la décomposition de d et de k, c'est-à-dire 
où 
et 
.
Il y a donc q + 1 possibilités pour q'et r + 1 possibilités pour r, et donc 
possibilités pour d. Le nombre de diviseurs de 
.
b. 
avec n le nombre de zéros de 1250…0.
Donc
: il a 
diviseurs.
.
Il y a deux racines, dont une seule est positive,
.
Le nombre cherché est donc 125 000 000 000.
2. Si p est un nombre premier divisant d, alors p divise aussi n, donc les nombres premiers apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d apparaissent aussi dans celle de n.
Donc 
où 
sont des entiers naturels éventuellement nuls et tels que 
pour tout 
(car 
divise d et donc n).
3. II s'agit de dénombrer toutes les combinaisons possibles de facteurs premiers.
On sait qu'un diviseur s'écrit 
et on a 
possibilités pour 
: de 0 à 
possibilités pour
, de 0 à 
…, 
possibilités pour
, de 0 à
ce qui fait en tout 
diviseurs positifs.