Exercice corrigé Ancien programme

divisibilité

1. Sans utiliser votre calculatrice, démontrer que  est divisible par 5.

2. a. Démontrer que pour tous réels a et b :

b. Démontrer que est divisible par 5.

Voir la définition I.1.

1. On factorise cette différence de deux carrés :

.

Donc est bien divisible par 5.

2. a. Il suffit de remarquer que :

.

D'où

b. En utilisant la formule du a. :

Ainsi, avec,

donc est divisible par 5.

Par la suite, il sera plus naturel d'utiliser les congruences dans ce cas, car (modulo 5) et (modulo 5), que l'on peut ensuite mettre à la puissance 4 pour établir le résultat.

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