Exercice corrigé Ancien programme

divisibilité

Montrer par récurrence que, pour tout pour tout est divisible par

Soit x un entier naturel fixé. On commence par remarquer que.

On va montrer par récurrence sur l'entier que, pour tout , l'hypothèse

Hn «est divisible par x2 » est vraie.

Au premier rang : ,

donc H1 est vraie.

On suppose qu'il existe un rang tel que Hn soit vraie, c'est-à-dire est divisible par x2.

Il existe donc tel que .

Ainsi .

Or d'après Hn

.

On en déduit :

.

Si on pose alors ,

et.

Donc est divisible par x2 et est vraie.

D'après le principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que, pour

tout , Hn est vraie, soit est divisible par x2.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner