divisibilité par 7

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique

Partie A

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. a. Pour calculer les restes de la division euclidienne de
par 7.

b. Démontrer que, pour tout n, est divisible par 7. En déduire que et ont le même reste dans la division par 7.

c. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de par 7.

d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de par 7, pour n quelconque ?

e. En déduire que, pour tout entier naturel n, n’est pas divisible par 7.

2. Soit n est un entier supérieur ou
égal à 2.

a. Montrer que si est divisible par 7, alors est divisible par 7.

b. Réciproquement, montrer que si est divisible par 7, alors est divisible par 7.

c. En déduire les valeurs de n telles que soit divisible par 7.

Partie B

1. Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division par 7 de , puis de

2. Vérifier que le nombre 787 878 est divisible par 7.

3. Démontrer que si n est divisible par 3, tout entier avec et étant répété n fois, est divisible par 7.