Exercice corrigé Ancien programme

durée de vie d'une ampoule

Une ampoule a une durée de vie en heures notée T. On suppose qu'elle suit une loi exponentielle de paramètre

1. Quelle est la probabilité que l'ampoule dure moins de 4 000 heures ?

2. Quelle est la probabilité que l'ampoule dure plus de 10 000 heures ?

3. Quelle est la probabilité que l'ampoule dure plus de 10 000 heures sachant qu'elle a duré plus de 4 000 heures ?

4. Combien de temps peut-on espérer faire fonctionner cette ampoule ?

On pourra utiliser le cours, III ou remarquer que T > 10 000 implique
T > 4 000.

5. Le fabriquant annonce que son ampoule a été améliorée : son nouveau paramètre, noté , assure une durée de vie supérieure à 10 000 heures avec une probabilité égale à 0,95. Déterminer .

1.

2.

Autre méthode : comme à l'exercice 3, on peut calculer :

La loi exponentielle « ne charge pas les points ».

Prendre des inégalités strictes ou larges ne change pas la probabilité.

C'est le cas pour toutes les lois de probabilité à densité.

3.Comme , on peut conditionner par l'événement avec:

Or, l'événement contient l'événement donc:

Autre méthode : la loi exponentielle est « sans mémoire », donc :

4. L'espérance de la durée de vie de l'ampoule est:

heures.

5.

Alors équivaut successivement à :

(quantités strictement positives)

(car ln est strictement croissante sur

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