Exercice corrigé Ancien programme

Échecs

Un tournoi d'échecs oppose deux champions A et B, qui jouent trois parties successives. Chaque partie est respectivement notée A, B ou N suivant que le joueur A gagne, le joueur B gagne, ou la partie est nulle. Des statistiques basées sur toutes leurs précédentes rencontres précisent qu'à chaque partie, le joueur A a une probabilité de gagner égale à 0,5, et une probabilité de perdre égale à 0,4.

1. a. Combien compte-t-on de tournois sans vainqueur ?

b. Montrer que la probabilité pour que le tournoi soit sans vainqueur est de 0,121.

2. a. Calculer la probabilité pour que le joueur A gagne exactement une partie et remporte le tournoi.

b. Montrer que la probabilité pour que le joueur A soit vainqueur du tournoi est de 0,515.

3. Sachant que le joueur B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité pour que ce joueur ait gagné exactement deux parties.

Échecs

1. a. Le déroulement d'un tournoi peut se noter à l'aide d'un triplet composé des lettres A, B ou N, selon le résultat de chaque partie. Dans un tournoi sans vainqueur, il y a une ou trois parties nulles. S'il y a trois parties nulles, le tournoi est noté (N,N,N). S'il n'y a qu'une partie nulle, il y a six possibilités : (N,A,B), (N,B,A), (A,N,B), (B,N,A), (A,B,N), (B,A,N), soit sept tournois possibles sans vainqueur.

b. La probabilité qu'un tournoi se finisse par trois parties nulles (N,N,N) est de 0,13.

La probabilité d'avoir une partie gagnée par A, une partie gagnée par B, et une nulle, est .

Comme il y a six possibilités d'obtenir ces résultats, la probabilité pour que le tournoi soit sans vainqueur est égale à .

2. a. Il y a trois possibilités pour que le joueur A gagne exactement une partie et remporte le tournoi : (A,N,N), (N,A,N), et (N,N,A). La probabilité d'obtenir un tel résultat est donc .

b. Le joueur A peut gagner le tournoi avec une partie gagnée (probabilité 0,015, calculée ci-dessus), avec deux parties gagnées, ou avec trois parties gagnées.

La probabilité qu'il gagne deux fois est égale à :

.

La probabilité qu'il gagne trois fois est égale à : .

Finalement, la probabilité que le joueur A gagne le tournoi est égale à :

.

3. La probabilité que B gagne le tournoi est égale à : .

La probabilité que B gagne exactement deux parties est égale à :

D'après la formule des probabilités conditionnelles, la probabilité pour que le joueur B ait gagné exactement deux parties, sachant que ce joueur est vainqueur du tournoi, est égale à .

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