Exercice corrigé Ancien programme

Effets relativistes et horloges atomiques

Le premier étalon atomique de fréquence à jet de césium a été réalisé au Royaume-Uni en 1955. Sa précision était à l'époque de . Ce type d'horloge atomique est actuellement utilisé comme étalon primaire de fréquence et de temps.

L'évolution de la précision est la suivante :

Année

1955

1967

1990

Précision absolue (en secondes)

On suppose que l'on dispose de deux horloges atomiques à jet de césium strictement identiques, l'une placée sur terre, l'autre dans un satellite en orbite circulaire à l'altitude autour de la Terre.

1. Rappeler l'expression de la vitesse d'un satellite en orbite circulaire à l'altitude h,
en fonction de G, MT, h et RT.

Voir le chapitre 4.

2. Calculer numériquement cette vitesse. Dans quel référentiel est-elle donnée ?

3. Calculer dans le référentiel géocentrique la vitesse d'un point de la surface de la Terre situé à la latitude de Toulouse , du fait de la rotation de celle-ci sur son axe.

4. On suppose que l'horloge du satellite (notée H2) et l'horloge située à Paris (notée H1) sont en translation l'une par rapport à l'autre (formellement cela est faux, car les mouvements sont de rotation, mais on peut faire cette hypothèse sur un temps court). Calculer alors la vitesse de H2 par rapport à H1.

5. Les référentiels liés à H1 et H2 sont supposés être galiléens, calculer alors le coefficient γ avec 11 chiffres significatifs, avec u la vitesse de H2 par rapport à H1.

6. On suppose que H2 mesure une durée (temps propre) . Calculer la durée T correspondante mesurée par H1.

7. En tenant compte des précisions obtenues pour les horloges atomiques, justifier que le phénomène relativiste de dilatation des durées peut être mis en évidence par cette expérience. En comparant aux trois précisions successives des horloges atomiques indiquer à partir de quelle date ce phénomène a pu être vérifié.

On pourra utiliser l'approximation suivante :

si a est petit devant 1, .

1. On sait d'après le cours que la vitesse de révolution pour un satellite en orbite circulaire à l'altitude h autour de la Terre s'écrit (dans le référentiel géocentrique) :

.

2. Le calcul est fait dans le référentiel géocentrique. Numériquement on trouve :

.

3. Un point situé à la latitude λ est à la distance de l'axe de rotation nord-sud (on retrouve la distance si la latitude est nulle). Ainsi pour Toulouse : . Par ailleurs on sait que la Terre fait un tour complet sur elle-même en 24 h soit une vitesse angulaire de rotation :

.

Un point de la surface de la Terre situé à la latitude de Toulouse a donc une vitesse, dans le référentiel géocentrique, de :

.

4. Dans le référentiel géocentrique, H1 a la vitesse et H2 la vitesse v calculée à la question 2. H1 et H2 tournent dans le même sens dans le référentiel géocentrique, on en déduit que H2 a la vitesse dans le référentiel terrestre lié à H1, soit :

.

5. On a , d'où :

.

Attention ! si la calculatrice ne peut afficher autant de décimales, on emploie la formule approchée suivante : .

Avec , on trouve le même résultat :

.

6. On utilise la formule de dilatation de la durée, et dans H1 (référentiel terrestre) on a .

7. L'effet relativiste mis en évidence est de . Lorsque la précision des horloges atomiques était de il ne pouvait être mis en évidence. Dès que la précision a atteint et en dessous, l'effet relativiste est devenu décelable,
c'est-à-dire depuis 1967.

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