Exercice corrigé Ancien programme

Ellipsoïde de fresnel

Pour qu'une onde électromagnétique soit transmise entre deux antennes sans être atténuée par un obstacle, il faut que le volume décrit par l'ellipsoïde de Fresnel entre ces deux antennes soit totalement libre.

L'ellipsoïde de Fresnel est l'espace défini par la relation :

où toutes les dimensions sont exprimées en mètres.

Remarque : r est maximum pour .

1. L'essentiel des futures télécommunications mobiles « 4G » emprunteront la gamme de fréquences allant de 2 500 à 2 650 MHz. Quelle sera la valeur maximale de r pour les deux antennes représentées sur le schéma précédent ?

2. À 2 kilomètres de la première antenne se dresse un arbre de hauteur .
En dessous de quelle fréquence sera-t-il gênant pour les transmissions du signal 4G ?

1. On choisira afin d'avoir la valeur maximale de r. De plus, r est proportionnel à la racine carrée de . Or, . C'est donc la fréquence la plus faible de la bande de fréquences 4G (2 500 MHz) qui donnera la valeur maximale de r :

.

2. L'arbre sera gênant dès lors que c'est-à-dire dès lors que :

.

Il y aura donc un problème pour toutes les fréquences telles que :

, soit .

Cela constitue l'ensemble du spectre 4G considéré.

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