Exercice corrigé Ancien programme

encadrement

Soit (un) la suite définie, pour tout

1. Justifier que la suite est définie pour tout entier naturel n.

2. Calculer les cinq premiers termes de la suite

3. Donner un encadrement du numérateur par deux fonctions affines de n

4. Montrer qu'il existe des réels a, b, c et d à définir tels que pour tout

5. Posons Exprimer en fonction de N.

6. En déduire, en appliquant les règles de composition de limites, la limite en de et celle de

7. Déterminer la limite quand n tend vers de la suite (un).

 

 

 

1. Soit n, est la somme de trois termes positifs dont l'un est
strictement supérieur à 0, donc

2. u0 = 3  .

 

Pour tout a ≠ 0, a0 = 1 en particulier, (-1)0 = 1.

 

3. Pour tout n, –1 ≤ (–1)n ≤ 1, donc –3 ≤ 3 × (–1)n ≤ 3 (multiplication par 3 > 0)
donc -2n - 3 ≤- 2n + 3(-1)n ≤ -2n + 3.

4. Pour tout

5. Posons Alors :

6. l ,

donc, par composition, .

donc, par composition,

7. Pour tout

.

Donc, d'après le théorème des gendarmes,

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