Exercice corrigé Ancien programme

Encadrement d'une intégrale

On considère les fonctions numériques de la variable réelle x définies par :

, et .

1. Établir que pour tout réel x appartenant à l'intervalle  :

.

2. En déduire un encadrement de l'intégrale :

.

2. On peut intégrer les différents membres d'un encadrement sur le même intervalle pour obtenir un nouvel encadrement.

Encadrement d'une intégrale

1. Pour tout réel x, on a :

On a donc .

Pour tout x appartenant à l'intervalle , on a , soit

Pour tout réel x, on a :

Pour tout x appartenant à l'intervalle , on a , soit

Pour tout x de , on a bien :  (1).

2. D'après la propriété de positivité des intégrales et la relation (1), on a :

 (2).

Sur , une primitive de g est .

On a donc .

Sur , une primitive de h est .

On a donc .

De la relation (2), on déduit que :

1. Pour comparer deux expressions, il est souvent pratique d'étudier le signe de leur différence.

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