On considère la suite définie par
et, pour tout
par :
1. Démontrer par récurrence que pour tout
2. a. Démontrer que pour tout
b. En déduire que pour tout
Faire une récurrence. |
c. En déduire que pour tout
d. Démontrer par récurrence que pour tout
e. Qu'en déduit-on pour la suite ?
1. l donc la propriété est vraie au rang 0.
- Supposons qu'il existe un entier naturel m tel que
et montrons qu'alors
, donc
donc
.
La propriété est vraie au rang
- Donc, pour tout
2. a. Soit Alors
b. l donc la propriété est vraie au rang 0.
- Supposons qu'il existe un entier
tel que
et montrons qu'alors
D'après a.,
où um et
sont strictement positifs.
Alors et
donc
- Donc, pour tout
c. Pour tout donc
et en multipliant par
d'où,
d. Le c. peut s'écrire aussi : pour tout
- Ainsi,
soit
donc la propriété est vraie au rang 1.
- Supposons qu'il existe
tel que
et montrons qu'alors :
D'après le b., et l'hypothése de récurrence :
d'où
par croissance de la fonction careé sur [0 : + ∞[.
donc
D'où, d'après le c.
et donc l'inégalité est vraie au rang
- Donc, pour tout
e. On a prouvé que, pour tout
2 > 1, donc
Comme
Anisi,
Par conséquent,
Et d'après le théorème des gendarmes,
Donc la suite (un) converge vers