Encadrement de racine de 2 (suite de Héron)

1. l donc la propriété est vraie au rang 0.

• Supposons qu'il existe un entier naturel m tel que et montrons qu'alors

, donc donc .

La propriété est vraie au rang

• Donc, pour tout

2. a. Soit Alors

b. l donc la propriété est vraie au rang 0.

• Supposons qu'il existe un entier tel que et montrons qu'alors D'après a., où um et sont strictement positifs.

Alors et donc

• Donc, pour tout

c. Pour tout donc et en multipliant par
d'où,

d. Le c. peut s'écrire aussi : pour tout

• Ainsi, soit donc la propriété est vraie au rang 1.
• Supposons qu'il existe tel que et montrons qu'alors :

D'après le b., et l'hypothése de récurrence :

d'où par croissance de la fonction careé sur [0 : + ∞[.

donc

D'où, d'après le c.

et donc l'inégalité est vraie au rang

• Donc, pour tout

e. On a prouvé que, pour tout

2 > 1, donc

Comme

Anisi,

Par conséquent,

Et d'après le théorème des gendarmes,

Donc la suite (un) converge vers