Exercice corrigé Ancien programme

Encadrement de racine de 2 (suite de Héron)

On considère la suite définie par et, pour tout par :

1. Démontrer par récurrence que pour tout

2. a. Démontrer que pour tout

b. En déduire que pour tout

 

Faire une récurrence.

c. En déduire que pour tout

d. Démontrer par récurrence que pour tout

e. Qu'en déduit-on pour la suite  ?

1. l donc la propriété est vraie au rang 0.

  • Supposons qu'il existe un entier naturel m tel que et montrons qu'alors

, donc donc .

La propriété est vraie au rang

  • Donc, pour tout

2. a. Soit Alors

b. l donc la propriété est vraie au rang 0.

  • Supposons qu'il existe un entier tel que et montrons qu'alors D'après a., um et sont strictement positifs.

Alors et donc

  • Donc, pour tout

c. Pour tout donc et en multipliant par
d'où,

d. Le c. peut s'écrire aussi : pour tout

  • Ainsi, soit donc la propriété est vraie au rang 1.
  • Supposons qu'il existe tel que et montrons qu'alors :

D'après le b., et l'hypothése de récurrence :

d'où par croissance de la fonction careé sur [0 : + ∞[.


donc

D'où, d'après le c.

et donc l'inégalité est vraie au rang

  • Donc, pour tout

e. On a prouvé que, pour tout

2 > 1, donc

Comme

Anisi,

Par conséquent,

Et d'après le théorème des gendarmes,

Donc la suite (un) converge vers

 

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