Exercice corrigé Ancien programme

encore des naissances

Dans une maternité, on observe n naissances, n entier strictement positif. On admet que dans cette maternité la probabilité qu'un nouveau né soit une fille est de 0,49. Les naissances sont supposées indépendantes.

1. Combien de naissances faut-il attendre pour que la probabilité qu'il naisse au moins une fille soit supérieure à 0,95 ?

2. Combien de naissances faut-il attendre pour que la probabilité qu'il naisse au moins deux filles soit supérieure à 0,95 ?

1. Chaque naissance, si on appelle succès la naissance d'une fille, constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre Les n naissances successives, supposées indépendantes, constituent donc un schéma de Bernoulli. Si on note X le nombre de naissances de filles (de succès), X suit donc une loi binomiale de paramètres n et

« Il nait au moins une fille » correspond à l'événement « ». Son événement contraire est «  ».

L'événement «  » ne contient qu'une seule éventualité, tandis que l'événement «  » en contient

Or,

donc

On cherche le plus petit entier naturel n tel que ce qui équivaut successivement à :

près, donc la plus petite valeur qui convient est .

On peut également voir que l'événement contraire de « il nait au moins une fille » est « il nait n garçons ». Ces n naissances indépendantes de garçons ayant chacune une probabilité , on retrouve la probabilité de l'événement contraire : .

Si la méthode précédente vous parait trop difficile, vous pouvez vous contenter d'une justification obtenue à la calculatrice en dressant un tableau de valeurs de pour n entier.

On saisit et on dresse le tableau avec et un pas de 1.

On trouve pour n allant de 1 à 7 (par exemple) :

  1. n

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    à près

    0,51

    0,26

    0,1326

    0,068

    0,035

    0,018

    0,009

Il semble que :

C'est bien ce qu'on a trouvé plus haut.

On peut justifier cette observation : la suite est géométrique de premier terme et de raison . Cette suite est donc bien strictement décroissante. Alors pour tout entier

2. Il nait au moins deux filles se traduit par «  ». On s'intéresse à nouveau à l'événement contraire «  ».

Ainsi

On cherche le plus petit entier tel que :

À la calculatrice, on saisit et on dresse le tableau avec et un pas de 1.

On trouve pour n allant de 1 à 8 :

  1. n

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    à près

    1

    0,76

    0,515

    0,328

    0,2

    0,119

    0,069

    0,04

pour

pour

Il faut donc attendre 8 naissances.

La suite définie par

est strictement décroissante :

Donc la plus petite valeur cherchée est bien

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