Dans une maternité, on observe n naissances, n entier strictement positif. On admet que dans cette maternité la probabilité qu'un nouveau né soit une fille est de 0,49. Les naissances sont supposées indépendantes.
1. Combien de naissances faut-il attendre pour que la probabilité qu'il naisse au moins une fille soit supérieure à 0,95 ?
2. Combien de naissances faut-il attendre pour que la probabilité qu'il naisse au moins deux filles soit supérieure à 0,95 ?
1. Chaque naissance, si on appelle succès la naissance d'une fille, constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre Les n naissances successives, supposées indépendantes, constituent donc un schéma de Bernoulli. Si on note X le nombre de naissances de filles (de succès), X suit donc une loi binomiale de paramètres n et
« Il nait au moins une fille » correspond à l'événement « ». Son événement contraire est «
».
L'événement « |
Or,
donc
On cherche le plus petit entier naturel n tel que ce qui équivaut successivement à :
près, donc la plus petite valeur qui convient est
.
On peut également voir que l'événement contraire de « il nait au moins une fille » est « il nait n garçons ». Ces n naissances indépendantes de garçons ayant chacune une probabilité Si la méthode précédente vous parait trop difficile, vous pouvez vous contenter d'une justification obtenue à la calculatrice en dressant un tableau de valeurs de On saisit On trouve pour n allant de 1 à 7 (par exemple) :
Il semble que : C'est bien ce qu'on a trouvé plus haut. On peut justifier cette observation : la suite |
2. Il nait au moins deux filles se traduit par « ». On s'intéresse à nouveau à l'événement contraire «
».
Ainsi
On cherche le plus petit entier tel que :
À la calculatrice, on saisit et on dresse le tableau avec
et un pas de 1.
On trouve pour n allant de 1 à 8 :
-
n
1
2
3
4
5
6
7
8
à
près
1
0,76
0,515
0,328
0,2
0,119
0,069
0,04
pour
pour
Il faut donc attendre 8 naissances.
La suite définie par
Donc la plus petite valeur cherchée est bien |