Exercice corrigé Ancien programme

Équations

Trouver l'ensemble des entiers naturels non nuls a et b tels que et PGCD

Soit tels que .

Dans un premier temps, pour simplifier nos calculs, nous supposerons.

, donc 6 divise a et b et on peut poser :

et avec , et.

On a alors :

,

donc .

De plus, , d'où .

On cherche donc , , tels que

Or , avec 2 et 3 des nombres premiers,

donc implique , ou , .

Ainsi, ,, ou, .

Vérification :

Si , : et :

car 6 divise 36.

Donc , conviennent.

Si , : et :

car .

Donc, conviennent.

Par symétrie, si on suppose désormais , on trouve :

, , ou , .

L'ensemble des couples d'entiers tels que :

est donc .

 

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