Trouver l'ensemble des entiers naturels non nuls a et b tels que et PGCD
Soit tels que
.
Dans un premier temps, pour simplifier nos calculs, nous supposerons.
, donc 6 divise a et b et on peut poser :
et
avec
, et
.
On a alors :
,
donc .
De plus, , d'où
.
On cherche donc ,
, tels que
Or , avec 2 et 3 des nombres premiers,
donc implique
,
ou
,
.
Ainsi, ,
, ou
,
.
Vérification :
● Si ,
:
et :
car 6 divise 36.
Donc ,
conviennent.
● Si ,
:
et :
car
.
Donc,
conviennent.
Par symétrie, si on suppose désormais , on trouve :
,
, ou
,
.
L'ensemble des couples d'entiers tels que :
est donc
.