Exercice corrigé Ancien programme

Étude aux dimensions de la période d'un pendule

On considère un pendule simple constitué d'un fil de longueur L, fixé en un point et portant une masse ponctuelle m à l'autre extrémité. Ce pendule est en oscillations libres sans frottements, dans le champ de pesanteur terrestre.

1. De quels paramètres peut dépendre la période T des oscillations du pendule ?

2. Montrer par une étude aux dimensions que T ne peut dépendre que de L et g.

3. En utilisant la question précédente, donner la forme de l'équation qui relie T à L et g.

4. En admettant que le facteur de proportionnalité soit 2π, calculer la longueur L du fil si et .

1. Le pendule est caractérisé par sa longueur L, sa masse m et oscille dans le champ de pesanteur terrestre. À priori, T peut dépendre de L, m et g.

2. En notant a, b et c des coefficients qu'il nous faudra déterminer, on suppose que T dépend de L, m et g sous la forme :

,

k est un facteur de proportionnalité sans dimension.

Soit en calcul de dimensions : .

Or g est homogène à une longueur divisée par un temps au carré (une accélération), d'où .

On obtient par identification le système d'équations :

, soit

On constate que T ne dépend effectivement pas de m.

3. On déduit de la question précédente que T peut s'écrire : .

4. De la formule , on déduit que .

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