Etude d'un bénéfice

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Exercices
Classe(s) : 1re ES - 1re L | Thème(s) : Dérivation


Pour une entreprise E, dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :

.

1. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d’un objet supplémentaire ; on choisit comme modélisation de ce coût marginal .

Exprimer ce coût marginal en fonction de x.

2. On suppose que l’entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est :

.

(autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l’est au prix ).

Calculer la recette totale pour la vente de x objets.

3. On appelle recette marginale l’augmentation de recette procurée par la vente d’un objet supplémentaire ; on modélise cette recette marginale par est la fonction dérivée de R.

Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

4. Montrer que le bénéfice pour la fabrication et la vente de x unités est donné par .

5. a. Calculer désigne la fonction dérivée de B.

 b. En déduire que le bénéfice est maximum quand la recette marginale est égale au coût marginal.

Que vaut ce bénéfice maximum ?

Tracer la représentation graphique de B.

1. Pour calculer , écrire comme un produit.

2. La recette est le produit du nombre d’objets vendus par le prix unitaire.

4. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication.