Exercice corrigé Ancien programme

Étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur par :

.

Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité graphique : 2 cm).

1. Calculer .

2. Étudier les variations de f sur .

3. a. Préciser les ordonnées des points A, B, D, E et F de d'abscisses respectives 0, 1, 2, 3 et 4.

b. Montrer que les tangentes à en B et en E sont horizontales.

c. Déterminer une équation de la tangente à en D.

4. Dresser le tableau de variations de f.

5. Représenter f et ses tangentes en B, en D et en E.

6. Déterminer graphiquement le nombre de solutions à l'équation dans l'intervalle .

7. a. Tracer sur le repère précédent la droite Δ d'équation .

b. Résoudre graphiquement l'inéquation dans .

8. La fonction f est la dérivée d'une fonction g définie sur .

Donner et justifier le sens de variation de g.

Étude d'une fonction

1. .

2. Pour , on a .

Comme , il y a deux racines :

et .

Le trinôme est positif sauf entre ses racines 1 et 3.

Sur , on a f est croissante sur

Sur , on a et f est décroissante sur

Sur , on a et f est croissante sur

3. a. , donc on a .

, donc on a .

, donc on a .

, donc on a .

, donc on a .

b. Comme on a et , les tangentes à en B d'abscisse 1 et en E d'abscisse 3 sont parallèles à l'axe des abscisses. Elles sont donc horizontales.

c. D a pour abscisse 2, donc une équation de la tangente à en D est :

, soit ou encore

Cette tangente passe par D et par .

4.

5. 

6. Graphiquement, la courbe coupe la droite d'équation en trois points. Donc l'équation a trois solutions dans l'intervalle .

7. a. Pour , si alors et si alors .

La droite Δ passe par et par

b. Graphiquement les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de situés au-dessous de la droite Δ. .

8. La fonction f, dérivée de g, étant positive sur , la fonction g est croissante sur .

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