Exercice corrigé Ancien programme

Étude d'une fonction

Partie A

1. Soit a et b deux nombres réels.

On définit une fonction g sur par :

.

On note la fonction dérivée de g.

a. Calculer .

b. Le tableau des variations de g est le suivant :

En utilisant les données numériques de ce tableau, établir que et que

Ainsi pour la suite du problème, on a :

.

2. a. Justifier que, dans l'intervalle , l'équation possède au moins une solution. On admet que cette solution est unique et on la note α.

b. Déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur décimale approchée au centième de α.

3. À l'aide du tableau de variation, étudier le signe de pour x réel.

Partie B

Soit f la fonction définie sur par :

.

1. a. Soit la fonction dérivée de f. Montrer que .

b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de f sur .

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle la représentation graphique de f et la droite d'équation .

a. Étudier la position de par rapport à .

b. Tracer et . On prendra pour unité graphique 2 cm.

2. a. Pour étudier la position de par rapport à , étudier le signe de .

Étude d'une fonction

1. a. On a .

On utilise avec , , et .

.

b. On a .

On a .

2. a. On a .

g est continue et strictement croissante sur l'intervalle avec

L'équation admet au moins une solution sur l'intervalle .

b. En faisant des essais à l'aide de la calculatrice, on trouve que la valeur décimale approchée au centième de α est .

3. D'après le tableau de variation, on a sur , et sur .

1. a. On utilise avec , , et .

Pour tout réel de , on a :

.

On a bien .

b. Comme on a , est du même signe que .

Sur , on a , donc et f est décroissante sur .

Sur , on a , donc et f est croissante sur .

, et .

2. a. Pour tout x de , on a :

Comme une exponentielle est toujours positive, est du signe contraire de x.

Sur , est positif et est au-dessus de .

En 0, est nul et rencontre .

Sur , est négatif et est au-dessous de .

b. Voir la figure page suivante.

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