On considère la fonction f définie sur 
par :
,
où a et b sont deux réels.
On note 
sa représentation graphique dans un repère orthonormé (unité graphique : 0,5 cm), donnée ci-dessous.
On sait que la courbe 
satisfait aux conditions (a) et (b) suivantes :
(a) elle rencontre l'axe 
au point 
(b) elle admet au point B d'abscisse 3 ln(6) une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
1. Traduire les conditions (a) et (b) par des équations et démontrer que 
et 
.
Dans toute la suite du problème, on a donc :
.
2. Calculer 
et dresser le tableau de variation de f sur 
.
3. Étudier la position de 
par rapport à la droite Δ d'équation 
.
4. Démontrer que l'équation 
possède au moins une solution dans 
On admet que cette solution est unique et on la note α.
Déterminer la valeur décimale de α à 
près par défaut.
5. a. Résoudre graphiquement l'équation 
(on donnera un encadrement par deux entiers consécutifs de la solution autre que α).
b. Résoudre graphiquement l'inéquation 
.
1. 
.
3. Pour étudier la position de 
par rapport à Δ, étudier le signe de 
Étude d'une fonction exponentielle
1. Condition (a) 
rencontre l'axe (Oy) au point 
donne 
, soit 
.
On obtient 
.
Condition (b) 
admet au point B d'abscisse 
une tangente parallèle à l'axe des abscisses donne 
. Or, on a 
et 
.
On a donc 
. On obtient 
.
2. On a 
. On sait que 
et que la fonction exponentielle est croissante. Donc, si 
, 
et f croît si 
, 
et f décroît.
3. On a 
.
Une exponentielle étant toujours positive, on a toujours 
.
est toujours au-dessus de Δ.
4. Sur l'intervalle 
, f est continue et strictement croissante avec 
et 
, donc 
.
L'équation 
admet au moins une solution dans 
.
On a :
| x | 9 | 9,5 | 9,6 | 9,7 | 10 |
|
| 5,03 | 1,73 | 2,33 | 2,96 | 5,03 |
La valeur décimale de α à 
près par défaut est 9,5.
5. a. Graphiquement les solutions de l'équation 
sont les abscisses des points de 
situés sur la droite d'équation 
. Il y a deux solutions α et β avec 
.
b. Graphiquement les solutions de l'inéquation 
sont les abscisses des points de 
situés au-dessus la droite d'équation 
ou sur cette droite.
.
1. 
.
2. Si 
alors 
, donc 
est au-dessus de Δ.