Exercice corrigé Ancien programme

Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur par :

,

a et b sont deux réels.

On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé (unité graphique : 0,5 cm), donnée ci-dessous.

On sait que la courbe satisfait aux conditions (a) et (b) suivantes :

(a) elle rencontre l'axe au point  

(b) elle admet au point B d'abscisse 3 ln(6) une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

1. Traduire les conditions (a) et (b) par des équations et démontrer que et .

Dans toute la suite du problème, on a donc :

.

2. Calculer et dresser le tableau de variation de f sur .

3. Étudier la position de par rapport à la droite Δ d'équation .

4. Démontrer que l'équation possède au moins une solution dans

On admet que cette solution est unique et on la note α.

Déterminer la valeur décimale de α à près par défaut.

5. a. Résoudre graphiquement l'équation (on donnera un encadrement par deux entiers consécutifs de la solution autre que α).

b. Résoudre graphiquement l'inéquation .

1. .

3. Pour étudier la position de par rapport à Δ, étudier le signe de

Étude d'une fonction exponentielle

1. Condition (a) rencontre l'axe (Oy) au point donne , soit .

On obtient .

Condition (b) admet au point B d'abscisse une tangente parallèle à l'axe des abscisses donne . Or, on a et .

On a donc . On obtient .

2. On a . On sait que et que la fonction exponentielle est croissante. Donc, si , et f croît  si , et f décroît.

3. On a .

Une exponentielle étant toujours positive, on a toujours .

est toujours au-dessus de Δ.

4. Sur l'intervalle , f est continue et strictement croissante avec et , donc .

L'équation admet au moins une solution dans .

On a :

x

9

9,5

9,6

9,7

10

5,03

1,73

2,33

2,96

5,03

La valeur décimale de α à près par défaut est 9,5.

5. a. Graphiquement les solutions de l'équation sont les abscisses des points de situés sur la droite d'équation . Il y a deux solutions α et β avec .

b. Graphiquement les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de situés au-dessus la droite d'équation ou sur cette droite.

.

1. .

2. Si alors , donc est au-dessus de Δ.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner