On considère la fonction f définie sur par :
,
où a et b sont deux réels.
On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé (unité graphique : 0,5 cm), donnée ci-dessous.
On sait que la courbe satisfait aux conditions (a) et (b) suivantes :
(a) elle rencontre l'axe au point
(b) elle admet au point B d'abscisse 3 ln(6) une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
1. Traduire les conditions (a) et (b) par des équations et démontrer que et
.
Dans toute la suite du problème, on a donc :
.
2. Calculer et dresser le tableau de variation de f sur
.
3. Étudier la position de par rapport à la droite Δ d'équation
.
4. Démontrer que l'équation possède au moins une solution dans
On admet que cette solution est unique et on la note α.
Déterminer la valeur décimale de α à près par défaut.
5. a. Résoudre graphiquement l'équation (on donnera un encadrement par deux entiers consécutifs de la solution autre que α).
b. Résoudre graphiquement l'inéquation .
1. .
3. Pour étudier la position de par rapport à Δ, étudier le signe de
Étude d'une fonction exponentielle
1. Condition (a) rencontre l'axe (Oy) au point
donne
, soit
.
On obtient .
Condition (b) admet au point B d'abscisse
une tangente parallèle à l'axe des abscisses donne
. Or, on a
et
.
On a donc . On obtient
.
2. On a . On sait que
et que la fonction exponentielle est croissante. Donc, si
,
et f croît si
,
et f décroît.
3. On a .
Une exponentielle étant toujours positive, on a toujours .
est toujours au-dessus de Δ.
4. Sur l'intervalle , f est continue et strictement croissante avec
et
, donc
.
L'équation admet au moins une solution dans
.
On a :
x | 9 | 9,5 | 9,6 | 9,7 | 10 |
| 5,03 | 1,73 | 2,33 | 2,96 | 5,03 |
La valeur décimale de α à près par défaut est 9,5.
5. a. Graphiquement les solutions de l'équation sont les abscisses des points de
situés sur la droite d'équation
. Il y a deux solutions α et β avec
.
b. Graphiquement les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de
situés au-dessus la droite d'équation
ou sur cette droite.
.
1. .
2. Si alors
, donc
est au-dessus de Δ.