Exercice corrigé Ancien programme

Étude d'une fonction logarithme

On considère la fonction numérique g définie sur l'intervalle par :

.

On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthogonal . Unité graphique : 1 cm.

1. a. Déterminer la fonction dérivée de g.

b. Étudier le signe de sur et établir le tableau de variations de g.

2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 1.

3. Compléter le tableau de valeurs suivant dans lequel on fera figurer des valeurs décimales arrondies à près.

x

0,1

0,5

1

2

4

6

 

3,89

     

4,41

4. Tracer T et .

5. a. Démontrer que l'équation a une seule solution a dans .

b. Placer sur la figure le point d'abscisse a.

c. Donner un encadrement de a d'amplitude égale à 0,5.

2. Le coefficient directeur d'une tangente en un point d'abscisse a est .

Étude d'une fonction logarithme

1. a. Pour , on a

b. .

est donc positif sur et négatif sur .

2. Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 1 est , soit

3.

x

0,1

0,5

1

2

4

6

 

6,71

3,89

3

2,61

3,23

4,41

4.

5. a. Sur l'intervalle , g est continue et strictement croissante avec et . On a donc . L'équation admet une seule solution α dans .

b. Voir la figure ci-dessus.

c. On a .

Donc 4. Le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 1 étant , on peut construire T en utilisant le point de coordonnées sur et un autre point obtenu à partir de ce point en avançant horizontalement d'une unité vers la droite, puis en descendant d'une unité vers le bas.

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