Soit 
une suite définie par 
et, pour tout 
, 
. On pose 
.
1. Montrer que 
est une suite géométrique. On précisera sa raison et son premier terme.
2. Exprimer 
en fonction de n.
3. Exprimer 
en fonction de n.
4. Déterminer la limite de 
.
Voir le savoir-faire 7.
Étude d'une suite arithmético-géométrique
1. Pour tout 
:
.
Ainsi, 
est une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme :
.
2. 
.
3. 
.
4. Puisque 
est une suite géométrique de raison strictement supérieure à 1, de premier terme positif, sa limite est 
. On en déduit que la limite de 
est 
.