Partie A
Soit f la fonction définie sur par :
.
On désigne par la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
1. a. Calculer pour tout x de
.
b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2. Faire une construction soignée de .
3. Représenter graphiquement la parabole d'équation
, pour
4. a. Par lecture graphique, dénombrer les solutions de l'équation :
(1) .
b. Indiquer une valeur approchée à 0,1 près de la solution α de (1) comprise dans .
Partie B
Une entreprise fabrique des chaises. Elle peut fabriquer jusqu'à 3 000 chaises par mois.
Une étude de marché a montré que le bénéfice escompté pouvait être modélisé par la fonction h définie sur par :
,
où x est le nombre de chaises fabriquées en milliers et le bénéficie mensuel en milliers d'euros.
1. Montrer que l'équation (1) équivaut à :
(2) .
2. Déterminer, à l'aide de la partie A, la production à une centaine de chaises près qui permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.
2. et 3. Dresser un tableau de valeurs avant de réaliser une courbe.
Étude d'une fonction et problème économique
, on utilise .
Pour , on a
et pour
, on a
.
On a : ,
soit
b. Pour tout réel de , on a
donc f décroît strictement sur
.
2. Voir la figure page suivante.
x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
| 5 | 4,2 | 3 | 1 | - 3 | - 15 |
3. Voir la figure page suivante.
x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
x2 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 |
4. a. Par lecture graphique, la courbe et la parabole
ont un seul point en commun. Donc l'équation
admet une unique solution.
b. Par lecture graphique, la solution α est comprise entre 1 et 1,5.
x | 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 |
| 2 | 1,47 | 0,89 | 0,25 | - 0,46 | - 1,25 |
On a donc 1,3 comme valeur approchée de α à 0,1 près.
4. b. Ne sachant pas résoudre l'équation , on procède en cherchant la valeur qui annule
par essais avec des valeurs comprises entre 1 et 1,5.
1. Pour x dans , on a
non nul et :
2. On veut un bénéfice de 10 milliers d'euros, soit avec x dans
.
Or, on a :
.
D'après la partie A, la solution est α.
Il faut fabriquer 1 300 chaises par mois, à une centaine près, pour réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.