Partie A
Soit f la fonction définie sur 
par :
.
On désigne par 
la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).
1. a. Calculer 
pour tout x de 
.
b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
2. Faire une construction soignée de 
.
3. Représenter graphiquement la parabole 
d'équation 
, pour 
4. a. Par lecture graphique, dénombrer les solutions de l'équation :
(1) 
.
b. Indiquer une valeur approchée à 0,1 près de la solution α de (1) comprise dans 
.
Partie B
Une entreprise fabrique des chaises. Elle peut fabriquer jusqu'à 3 000 chaises par mois.
Une étude de marché a montré que le bénéfice escompté pouvait être modélisé par la fonction h définie sur 
par :
,
où x est le nombre de chaises fabriquées en milliers et 
le bénéficie mensuel en milliers d'euros.
1. Montrer que l'équation (1) équivaut à :
(2) 
.
2. Déterminer, à l'aide de la partie A, la production à une centaine de chaises près qui permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.
2. et 3. Dresser un tableau de valeurs avant de réaliser une courbe.
Étude d'une fonction et problème économique
, on utilise 
.
Pour 
, on a 
et pour 
, on a 
.
On a : 
,
soit 
b. Pour tout réel de 
, on a 
donc f décroît strictement sur 
.
2. Voir la figure page suivante.
| x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
|
| 5 | 4,2 | 3 | 1 | - 3 | - 15 |
3. Voir la figure page suivante.
| x | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
| x2 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 |
4. a. Par lecture graphique, la courbe 
et la parabole 
ont un seul point en commun. Donc l'équation 
admet une unique solution.
b. Par lecture graphique, la solution α est comprise entre 1 et 1,5.
| x | 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 |
|
| 2 | 1,47 | 0,89 | 0,25 | - 0,46 | - 1,25 |
On a donc 1,3 comme valeur approchée de α à 0,1 près.
4. b. Ne sachant pas résoudre l'équation 
, on procède en cherchant la valeur qui annule 
par essais avec des valeurs comprises entre 1 et 1,5.
1. Pour x dans 
, on a 
non nul et :
2. On veut un bénéfice de 10 milliers d'euros, soit 
avec x dans 
.
Or, on a :
.
D'après la partie A, la solution est α.
Il faut fabriquer 1 300 chaises par mois, à une centaine près, pour réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.