Exercice corrigé Ancien programme

Étude de fonction et problème économique

Partie A

Soit f la fonction définie sur par :

.

On désigne par la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisses, 1 cm en ordonnées).

1. a. Calculer pour tout x de .

b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

2. Faire une construction soignée de .

3. Représenter graphiquement la parabole d'équation , pour

4. a. Par lecture graphique, dénombrer les solutions de l'équation :

(1) .

b. Indiquer une valeur approchée à 0,1 près de la solution α de (1) comprise dans .

Partie B

Une entreprise fabrique des chaises. Elle peut fabriquer jusqu'à 3 000 chaises par mois.

Une étude de marché a montré que le bénéfice escompté pouvait être modélisé par la fonction h définie sur par :

,

x est le nombre de chaises fabriquées en milliers et le bénéficie mensuel en milliers d'euros.

1. Montrer que l'équation (1) équivaut à :

(2) .

2. Déterminer, à l'aide de la partie A, la production à une centaine de chaises près qui permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.

2. et 3. Dresser un tableau de valeurs avant de réaliser une courbe.

Étude d'une fonction et problème économique

, on utilise .

Pour , on a et pour , on a .

On a : ,

soit

b. Pour tout réel de , on a donc f décroît strictement sur .

2. Voir la figure page suivante.

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

5

4,2

3

1

- 3

- 15

3. Voir la figure page suivante.

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

x2

0

0,25

1

2,25

4

6,25

4. a. Par lecture graphique, la courbe et la parabole ont un seul point en commun. Donc l'équation admet une unique solution.

b. Par lecture graphique, la solution α est comprise entre 1 et 1,5.

x

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

2

1,47

0,89

0,25

- 0,46

- 1,25

On a donc 1,3 comme valeur approchée de α à 0,1 près.

4. b. Ne sachant pas résoudre l'équation , on procède en cherchant la valeur qui annule par essais avec des valeurs comprises entre 1 et 1,5.

1. Pour x dans , on a non nul et :

2. On veut un bénéfice de 10 milliers d'euros, soit avec x dans .

Or, on a :

.

D'après la partie A, la solution est α.

Il faut fabriquer 1 300 chaises par mois, à une centaine près, pour réaliser un bénéfice mensuel de 10 000 euros.

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