Pour chacune des fonctions suivantes, montrer qu'elle est dérivable sur son ensemble de définition, calculer sa dérivée et en déduire ses variations.
1. définie sur
2. définie sur
3. définie sur
4. définie sur
Voir le savoir-faire 3. |
1. l f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
- Pour tout
-
car ln est strictement croissante sur
Donc
Donc, f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur
2. l f est de la forme avec
u est dérivable sur sur cet intervalle.
ln est dérivable sur donc aussi sur
Donc f est dérivable sur (comme somme de fonctions dérivables).
- Pour tout
Donc f est strictement croissante sur
3. l f est de la forme avec
Pour tout réel donc la fonction racine carrée étant dérivable sur
u est dérivable sur
et
est strictement positif sur
On en déduit que f est dérivable sur
- Pour tout
-
est du signe de x, donc
Donc f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur
avec
4. f est définie et dérivable sur et, pour tout
Donc f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur
avec