Exercice corrigé Ancien programme

étude des variations

Pour chacune des fonctions suivantes, montrer qu'elle est dérivable sur son ensemble de définition, calculer sa dérivée et en déduire ses variations.

1. définie sur

2. définie sur

3. définie sur

4. définie sur

Voir le savoir-faire 3.

1. l f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

  • Pour tout

car ln est strictement croissante sur

Donc

Donc, f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur

2. l f est de la forme avec

u est dérivable sur sur cet intervalle.

ln est dérivable sur donc aussi sur

Donc f est dérivable sur (comme somme de fonctions dérivables).

  • Pour tout

Donc f est strictement croissante sur

3. l f est de la forme avec

Pour tout réel donc la fonction racine carrée étant dérivable sur u est dérivable sur et est strictement positif sur

On en déduit que f est dérivable sur

  • Pour tout
  • est du signe de x, donc

Donc f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur avec

4. f est définie et dérivable sur et, pour tout

Donc f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur avec

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